نسبت طلایی و توزیع آن در کل هستی

نسبت طلایی فیبوناچی و بررسی حضور آن در سطوح مختلف هستی

امکان واریز آن لاین مبلغ محصولات کوثرپرداز در هر ساعت شبانه روز

 

 

اگر کارت سیبای بانک ملی دارید و رمز دوم آن ایجاد کرده اید می توانید به صورت آن لاین و در هر ساعت شبانه روز با کلیک روی لینک زیر از طریق وب سایت بانک ملی ایران مبلغ مورد نظر خود را به کارت ملی به شماره 6037991193491812 منتقل کنید و اطلاعات انتقال را به ایمیل kowsarmail@gmail.com  بفرستید

عزیزانی که کارت سیبای بانک ملی را دارند می توانند از طریق اینترنت و وب سایت
 در هر ساعت شبانه روز مبلغ مربوط به هر محصول را به کارت شماره
6037991193491812
در وجه آقای غلامعلی کوثری منتقل و اطلاعات مربوط به انتقال را به ایمیل
همراه با نشانی پستی کامل خود و نام دقیق محصولات درخواست ارسال نمایند.برای تائید و هماهنگی بیشتر می توانید با تلفن های شرکت

  تلفن های تماس با روابط عمومی شرکت :
8-77788465-021

 77054279-021
 77964741-021
 شماره های همراه
 09365839384
 09193137110
تماس بگیرید و درخواست خود را اطلاع دهید. در سریع ترین زمان ممکن محصول درخواستی به نشانی شما ارسال خواهد شد.

برای کسب اطلاعات بیشتر لطفا به وب سایت کوثرپرداز مراجعه نمائید

http://www.kowsarpardaz.com

 


برچسب‌ها: خرید آن لاین محصولات کوثرپرداز, انتقال اینترنتی مبلغ محصولات به کوثرپرداز
+ نوشته شده در  پنجشنبه بیست و هشتم دی 1391ساعت 9:44  توسط کوثرپرداز  | 

این عدد رمز طبیعت است: 1.618

naturewallpapersnailsdj2 

"مزرعه داری یک جفت خرگوش دارد. این خرگوش ها از سن یک ماهگی به بعد، در هر ماه یک جفت خرگوش به دنیا می آورند. با این فرض که خرگوش ها هرگز نمی میرند، مزرعه دار در نهایت صاحب چند خرگوش خواهد بود؟"

این سوالی بود که امپراتور فردریک دوم در سال 1225 برای ریاضی دانان شهر پیزا مطرح کرد و تنها کسی که جواب  را یافت و طبیعتا مسایقه را برد لئونارد فیبوناچی، جهانگرد ایتالیایی بود. او مسئله را خیلی ساده حل کرد:

در ماه اول مزرعه دار یک جفت خرگوش دارد.

در ماه دوم باز هم یک جفت دارد، چون خرگوش ها هنوز به سن بلوغ نرسیده اند.

در ماه سوم خرگوش ها زادآوری می کنند که نتیجه دو جفت خرگوش برای مزرعه دار است.

در ماه چهارم جفت خرگوش اول زادآوری می کنند ولی جفت خرگوش های دوم هنوز به سن بلوغ نرسیده اند. بنابراین مزرعه دار سه جفت خرگوش خواهد داشت.

ماه پنجم: جفت خرگوش های اول و دوم هر کدام دو جفت دیگر به جمعیت خرگوش ها اضافه می کنند و جفت خرگوش های سوم در انتظار بلوغ اند. بنابراین نتیجه 5 جفت خرگوش است.

هر ماه که می گذرد خرگوش های مزرعه داربه ترتیب زیر به زاد و ولد ادامه می دهند:

... ،1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233

weonxl3izan58l7qjx0

در این سری از اعداد، هرجمله با مجموع دو جمله ي پيشين خود برابري مي كند اما شهرت دنباله ی فیبوناچی اصلا به این دلیل نیست. خاصیت جذاب دنباله ی فیبوناچی در این است که وقتی هر کدام از عددهای آن را به عدد قبل از خودش تقسیم کنیم، به عددی نزدیک به 1.618 می رسیم که به "نسبت طلایی" مشهور است. یونانی ها این نسبت را با حرف "فی" نشان می‌دهند و آن را به عنوان "نسبت الهی"  می شناسند. فی در جهان طبیعت مثل رگه های درخشانی از یک امضاء نامریی از طرف خدا می درخشد:

در هر كندويي در هر گوشه از دنيا وقتی تعداد زنبورهاي ماده را به نر تقسيم می كنيم به یک عدد ثابت می رسیم: 1.618

شاخ و برگ  درخت ها به صورت تصادفی در جهات مختلف رشد نمی کنند‫. اندازه گیری زاویه شاخه ها نشان می دهد که در الگوی رشد آن ها، نظمی شبیه دنباله فیبوناچی و نسبت طلایی وجود دارد. درختان با پیروی از این نوع الگوی رشد، قادرند درصد بیشتری از نور خورشید را جذب کنند.

دانه های آفتابگردان به شكل مارپيچ هايي روبروي هم رشد مي كنند. نسبت قطر هر مارپیچ به مارپیچ بعدي 1.618 است.

Sunflower-sunflower-butterfly-7wallpaper-blogfa-com-1680x1050

این نسبت در بدن انسان ها هم هست؛ اگر فاصله سر تا زمين را تقسيم بر فاصله ي شكم تا زمين کنیم، به 1.618 مي رسیم. نسبت طول بزرگترین استخوان انگشت دست به طول استخوان متوسط برابر نسبت طلایی است؛ نسبت طول استخوان متوسط به استخوان کوچک هم همینطور. نسبت طول رشته ی DNA به عرض آن هم چیزی نزدیک به همان عدد فی است.

د‌رصورتی‌که تعدادی مربع با بُعدهايِ برابر با اعداد فیبوناچی رسم کنیم و خطی را در راستای قطر هر یک از مربع‌ها امتداد بدهیم،  مارپیچ فیبوناچی شکل خواهد گرفت که همان مارپیچ صدف های نوتیلوس و حلزون ها ست.

499724_iS8lBXxt

گردبادها و منظومه ها در مسیری مشابه با مارپیچ فیبوناچی حرکت می کنند.نسبت قطر مارپیچ بزرگتر به مارپیچ کوچکتر در یک گردباد برابر با 1.618 است. در کهکشان ها هم نسبت قطر مارپیچ بزرگتر به مارپیچ کوچکترهمان عدد شگفت انگیز فی است.

وقتی که سنگ هاى آسمانى با سطح زمين برخورد مى کنند، مسيرى شبیه مارپیچ فیبوناچی را طى مى کنند. عنکبوت ها شبکه تارهاى خودشان را براساس الگویی شبیه به مارپیچ فیبوناچی می تنند. ميوه های درخت کاج، موج هاى اقيانوس ها، سرخس ها، شاخ جانوران و چيدمان گل های مرواريد همگی از الگوی منحنی های این مارپیچ مرموز تبعیت می کنند.

telas_aranyas15

اگر مارپیچ فیبوناچی را کامل رسم کنیم به مارپیچی می رسیم که ابتدا و انتهای آن نامعلوم است، این مارپیچ از هر دو طرف تا بی نهایت پیش می رود و هرگز به آخر نمی رسد.

من نمی دانم 1.618 لابلای مارپیچ های آفتابگردان و انحنای ظریف میوه های کاج چه می کند و حضورش به دنبال کدام اسم رمز الهی است اما فکر می کنم دو بی نهایتی که مارپیچ فیبوناچی در آن جا خوش کرده بسیار شبیه سرنوشت آدم هاست که بین دو بی نهایت هستی گم شده اند؛ بین یک آغاز و یک پایان…

69843798433

+ نوشته شده در  پنجشنبه سی و یکم فروردین 1391ساعت 15:14  توسط کوثرپرداز  | 

افشای بخشی از راز نسبت طلایی

در جهان پیچ‌درپیچ ریاضی، کمتر مفهومی به طور مستقیم و بی‌واسطه در جهان پیرامون‌مان متجلّی می‌شود؛ هر چند برعکس این موضوع برای تمامی فرآیند‌های قانون‌مند گیتی صادق است.

به عنوان مثال علم امروز هرچند هیچ‌گونه توضیحی درخصوص سازوکار تنظیم ثوابت طبیعی همچون «ثابت پلانک»، «ثابت جهانی گرانش» و «عدد پی» ارائه نکرده است؛ اما بروز کوچک‌ترین تغییری در این کمیت‌های بنیادین، جهان ما را به کلی دگرگون خواهد ساخت.

کاربرد نسبت طلایی در معماری معبد پارتنون در آتن. بزرگترین مستطیل که تمامی نمای معبد را درون خود جای داده است، یک مستطیل طلایی است. به همین ترتیب نسبت طول ستون‌ها به ارتفاع تاج معبد و نسبت عرض جزءِ مستطیلیِ تاج به ارتفاع جزءِ مثلثیِ آن، نسبتی طلایی است


در این میان هزاران سال است ثابتی منحصربفرد و جذاب را یافته‌ایم که در گوشه‌گوشه جهان‌مان رخنه کرده و ردپایش از ترمودینامیک سیاهچاله‌های فضایی گرفته تا زادآوری منظم خرگوش‌ها و حتی اهرام مصر کشیده‌ شده است؛ ثابتی موسوم به "عدد فی" یا "عدد طلایی".

در حدود ۳۰۰ سال پیش از میلاد، ریاضیدان برجسته‌ی یونان باستان؛ اقلیدس، در فصل چهارم از کتاب معروفش «اصول»، که تا پیش از این قرن، پرخواننده‌ترین کتاب جهان غرب پس از انجیل بود؛ اینچنین نوشته‌ است:

«یک پاره‌خط مستقیم را می‌توان به دو قسمت کوچک و بزرگ آن‌چنان تقسیم نمود که نسبت طول پاره خط به جزء بزرگ، برابر با نسبت طول جزء بزرگ به کوچک باشد". او با حل جبری این مسأله دریافت که مقدار چنین نسبتی همواره معادل نصف مجموع مجذور ۵ و یک؛ یا ۱.۶۱۸۰۳۳۹۸۸۷ می‌باشد؛ عددی گنگ1 همچون پی، که بعدها «عدد فی» نامیده شد.

فی، نخستین حرف از نام «فیدیاس»، پیکرتراش زبده‌ی یونان باستان است که به احتمال زیاد این نسبت عددی را ده‌ها سال پیش از اقلیدس، در شیوه‌ی هنری‌اش لحاظ می‌کرده است.

فی، صرفاً بعنوان یک نماد هندسی، اسیر ذهن پویای ریاضیدانان نماند و اندکی بعد، پا به جهان پیرامون‌مان نهاد و صاحب‌نظران هر حوزه از علم آن روز را در شگفتی تمام فروبرد. هر اندشمندی با دریافتی که خود از اعجاز بی‌پایان این عدد داشت، به دنبال واژه‌ای بود که به بهترین نحو از زیبایی و شکوه ذاتی آن عدد حکایت کند.

«لوییجی پاچیولی»، ریاضیدان ایتالیایی، این نسبتِ عددی را «نسبت ملکوتی» نام نهاد و «مارتین اهم» آلمانی، در کتاب خود از آن با عنوان «نسبت طلایی» یاد کرد.

به هر حال این نسبت باستانی، هر روزه خود را اغلب در حوزه‌هایی که هیچ انتظاری از آن‌ها نمی‌رود، به شکل بدیعی آشکار می‌سازد و بر انبوه سؤالات بی‌پاسخ ما می‌افزاید.


مارپیچ‌های لگاریتمی و تنوع حیرت‌‌انگیز مصادیق طبیعی آن‌ها، نمونه‌ی بارزی از اعجاز عدد فی است. برای ترسیم یک منحنی لگاریتمی ایده‌آل از نوع طلایی، کافی است یک چهارضلعی طلایی رسم کنید؛ بگونه‌ای که نسبت طول به عرض آن، معادل این عدد باشد.

مقایسه‌ی منحنی طلایی موجود در ساختار مارپیچ یک فسیل آمونیت (جانداری آبزی شبیه حلزون اما با ابعاد متغیر و گاهاً غول‌پیکر که میلیون‌ها سال پیش می‌زیسته است) ، یک گردباد گرمسیری و نیز یک کهکشان مارپیچی (از پایین به بالا). بالاترین جزءِ تصویر، یک مارپیچ طلایی ایده‌آل است که با رسم یک مستطیل طلایی و اجزای زیرمجموعه‌ی آن بوجود می‌آید

پس از آن از درون مستطیل، یک مربع جدا کنید. حال، مستطیل اولیه به یک مربع و یک مستطیل کوچکتر که اتفاقاً اضلاع آن هم از نسبت طلایی پیروی می‌کنند، تقسیم شده است. روند مربع‌سازی را همچنان برای مستطیل‌های کوچکتر و کوچکتر ادامه دهید.

حال، درون هر مربع از گوشه‌ها یک ربع دایره رسم کنید که شعاعش معادل ضلع مربع میزبان باشد. با ادامه این روند؛ مارپیچی گرداب‌گون به دست می‌آید که با کمال شگفتی، دقیقاً مشابه مارپیچ‌های صدف یک حلزون، بازوهای یک کهکشان مارپیچی، ابرهای درهم‌تنیده‌ی طوفان‌های هولناک گرمسیری و مارپیچ اتمی یک مولکول DNA است.

«یوهانس کپلر»، منجم صاحب‌نام آلمانی‌تبار، در نیمه‌ی اول قرن هفده میلادی و ده‌ها سال پیش از کشف کهکشان‌های مارپیچی گفته بود:

«سنت هندسه‌ی باستان، دو میراث بزرگ برای ما به یادگار گذاشت. نخست، قضیه‌ی فیثاغورث و دیگری راز تقسیم یک پاره‌خط به نسبت‌های بیشینه و میانه. اگر اولی مثل حلقه‌ی طلا ارزشمند باشد، دومی گوهری نایاب و گرانقیمت است که زینت‌بخش هر جواهری خواهد بود.»

بسیاری از معماران و هنرمندان کهن، نسبت طلایی را دست‌مایه کار خود ساخته و دست به خلق آثاری شگرف و ماندگار زده‌‌اند. از معروف‌ترین نمونه‌‌های آن‌ها، تابلوهای «مونالیزا» و «مرد ویترووین»، اثر لئوناردو داوینچی و بنای «پارتنون» یونان، مربوط به ۲۴۶۰ سال پیش است.

جالب اینجاست که چنین نسبتی در اعضای بدن هر انسان سالمی نیز خود را نمایان می‌سازد. بعنوان مثال، در یک چهره‌ی زیبا و ایده‌آل، نسبت فاصله‌ی چشم‌ها تا لب به فاصله‌ی لب تا چانه، و نیز نسبت عرض چشم‌ها و بینی به عرض لب، معادل عدد طلایی است. راز این «نسبت ملکوتی» چیست؟


چندی پیش «آدریان بژان»، یکی از یکصد مهندس مکانیک برتر جهان و استاد دانشکده‌ی فنی دانشگاه دوک در ایالت کارولینای شمالی، نظریه‌ای ارائه داد که احتمالاً از راز نقش عدد فی در هنر و زیست‌شناسی، پرده برمی‌دارد.

مطابق با این نظریه، چشمان ما نمایی که چارچوبی به شکل یک مستطیل طلایی داشته باشد را با حداکثر سرعت ممکن، مورد بررسی و کنکاش خود قرار می‌دهند.

پیروی از طراحی ویژه‌ای که پیوند گسست‌ناپذیر بینایی و ادراک یک انسان معمولی را امکان‌پذیر ساخته، ساده‌ترین روشی است که به فرآیندهای جریانی (همچون فرآیند تشکیل دلتای یک رودخانه و یا فرآیند تردّد هوا در مسیر شُش‌های جانداران)، امکان تحول هر‌چه‌بهتر و بقای بیشتر جریان را می‌دهد.

بژان، در سال ۱۹۹۶ این گفته را تحت عنوان «قانون ساختاری» ارائه داد و آخرین نمونه‌ی کاربرد آن نیز، در آخرین شماره‌ی آنلاین «نشریه‌ی بین‌المللی طراحی، طبیعت و اکودینامیک» مورد بررسی قرار گرفته است.

بژان می‌گوید: «با نگاهی به آن‌چه که توسط افراد بسیاری طراحی و یا ساخته شده است، چنین نسبت‌هایی را همه‌جا خواهید دید. خوب می‌دانیم که چشمان ما با بررسی افقی یک نما (از چپ به راست و بالعکس)، اطلاعات کارآمدتری را نسبت به بررسی عمودی آن (از بالا به پایین و بالعکس) به دست می‌آورد.»

وی مدعی است که جهان، چه از دید انسانی که به یک اثر هنری می‌نگرد و چه از دید غزالی که دشت پیش رویش را تحت نظر دارد، اصولاً به جهت افقی گرایش دارد. برای یک غزال، خطر اصولاً از جهات افقی او را تهدید می‌کند؛ نه بالا یا پایین. از این‌رو گستره‌ی دید چنین جانوری نیز بصورت افقی نمو یافته است. به ادعای بژان، با دید بهتر و تحرک سریع‌تر بود که جانوران باهوش‌تر شدند. وی در ادامه می‌گوید:

«با رشد و بهبود اندام‌ بینایی، جانوران احتمال بروز خطر از روبرو و اطراف را به حداقل رسانده و بدین‌گونه جریان تحولی جانوران زمین، ایمن‌تر و مؤثرتر شد. (از این طریق) جریان جمعیت جانوری، گذرگاه‌های ایمن و مؤثری را برای بقای خود ایجاد کرد.»

از دیدگاه بژان، قوای بینایی و ادراک، وجودی متحدند که با هم تکامل یافته و در نحوه‌ی گذار تحولی خود نیز درون‌مایه‌ای یگانه و مشترک دارند. تکامل اندام‌های دیداری با هدف ارتقای بازدهی مسیرهای انتقال اطلاعات از چشم‌ها به مغز، مشابه همان روشی است که انشعابات عصبی سلول‌های مغزی ما را در طول هزاره‌های متمادی به نحو مطلوبی متحول ساخت.

با وجود آنکه راز نسبت طلایی، کوره‌راهی به سمت شناخت این جنبه از طراحی طبیعت به روی ما گشوده است؛ اما بژان همچنان افقی دورتر را می‌نگرد. به اعتقاد وی نقش یگانگی قو‌ه‌های بینایی، ادراک و پویایی یک انسان در تحول او، مشابه همان مسیری است که جانوران زمین از نوعی به نوع دیگر متحول شده و فرگشت یافتند.

پدیده‌ی نسبت طلایی، به درک نحوه‌ی همکاری فاکتورهایی چون «الگو» و «تنوع»؛ بعنوان اجزای گسست‌ناپذیر و ضروری در مسیر تحول طبیعی، کمک شایان توجهی خواهد نمود.

با این وجود، هر چند این نظریه را می‌توان عاملی برای توجیه نقش بارز نسبت طلایی در آثار هنرمندان باستان دانست؛ اما نمی‌توان به آسانی دلیل تشابه حیرت‌آور مارپیچ‌های طلایی یک کهکشان مارپیچی به طول ده‌ها هزار سال نوری را با منحنی منقّش بر صدف یک حلزون چندسانتمیتری توجیه نمود.

شاید پاسخ به این پرسش همچون ماهیت بسیاری از ثوابت فیزیکی در هاله‌ای از ابهام بماند و شاید هم یادآور گفته‌ای از آلبرت اینشتین باشد:

«زیباترین تجربه‌های زندگی نهفته در رویارویی با پررمز ‌و ‌رازترین پدیده‌های طبیعت است ... کسی‌که از این اسرار سر‌به‌مُهر به وجد و هیجان نیاید و یا آن‌ را هیجان‌انگیزترین تجربه‌ی بشر نداند، بهتر از شمعی خاموش و روحی مرده نیست.»

پاورقی‌ها:

۱- اعداد گنگ، اعدادی‌اند که جزء اعشاری‌شان هیچگاه به اتمام نمی‌رسد و یک دنباله‌ی غیرمتناوب و نامتناهی را تشکیل می‌دهند. عدد پی، یک عدد گنگ است.

۲- بخشی از متن بالا، اقتباسی آزاد بود از مقاله‌ی «در جست‌وجوی نسبت طلایی»؛ نوشته‌ی ماریو لیویو و ترجمه‌ی پوریا ناظمی که در شماره‌ی ۱۳۷ از ماهنامه نجوم به چاپ رسیده بود.


تناسب طلائی:

یکی از نسبت هایی که از عهد باستان تاکنون بکار رفته است تناسبی است به نام تناسب طلائی که یونانی ها به نقش غالبی که تناسب طلائی در تناسبات بدن انسان بازی می کرد پی بردند . و با اعتقاد به اینکه هم انسان و پرستشگاههای او می بایست به یک نظم برتری از جهان تعلق داشته باشند از همین تناسبات در ساختمان پرستشگاههایشان استفاده کردند. تناسب طلائی در کار معماران رنسانس هم کشف شد و در آخر، لوکوربوزیه، سیستم مدولر خود را بر مبنای = b . تناسبات طلائی بنا نمود و کاربرد آن در معماری تا امروز نیز ادامه دارد ab a+b

تناسبات طلائی از نظر هندسی:

خط تقسیم شده ای است که نسبت قسمت کوچکتر آن به بزرگتر مثل قسمت بزرگتر به کلش می باشد و هم هندسی ( additive ) تصاعدی که بر مبنای تناسب طلائی باشد هم افزاینده است.

تصاعد عددی : در این تصاعد هر عبارت مجموع دو عبارت قبل است و همین طور که ادامه دهیم و جلو رویم نسبت بین دو عبارت متوالی به نسبت تناسب طلائی نزدیک می شود . تصاعد دیگری که در وزن کلی بسیار نزدیک به تناسب طلائی است مجموعه فیبوناچی است.

مستطیل طلائی : یک مستطیل که تناسب اضلاعش بر حسب تناسب طلائی تنظیم شده است به عنوان مستطیل طلائی شناخته می شود . اگر یک مربع بر روی ضلع کوچکتر این مستطیل احداث کنیم قسمت باقی مانده از مستطیل اصلی همان مستطیل طلائی خواهد بود ولی کوچکتر . اگر این عمل تا بی نهایت بار تکرار شود تصاعدی از مربعها و مستطیل های طلائی ایجاد می نماید.

کاربرد تناسب طلائی در تناسبات نمای پارتنون:

در دو تحلیل زیر هر دو تحلیل ابتدا با تنظیم نما بر حسب مستطیل طلائی است و در مرحله بعدی هر کدام در روش پیاده کردن مستطیل طلائی و نحوه تأثیرگذاریش بر ابعاد نما و ترتیب اجزاء آن با یکدیگر متفاوت است.

موزه جهانی : جنوا ( پروژه ) ۱۹۲۹ ، لوکوربوزیه از تناسبات طلائی، مستطیل طلائی استفاده کرده است.

تناسبات در یونان:

در شیوه ستون سازی در تنظیم تناسبات اجزاء بیان کاملی از زیبائی و هماهنگی را ارائه می دادند واحد اصلی اندازه قطر ستون بود از این مدول ابعاد بدنه ستون، سرستون و نیز پاست ون در زیر و اسپاپیشانی در بالا و به همین ترتیب تا کوچکترین جزئیات استخراج می شود و همچنین تعیین فاصله بین ستونها نیز بر اساس و مبنای قطر ستون بود.

ویترویوس در عهد آگوستوس نمونه های شیوه های ستون سازی موجود را مطالعه نمود و تناسبات ایده آل خود را برای هر یک در رساله خود به نام ده کتاب در مورد معماری ارائه داد.

وینیولا این قوانین را مجدداً برای رنسانس ایتالیا تدوین نمود و شیوه های ستون سازی او امروزه احتمالاً از همه مشهورترند.

تئوریهای رنسانس:

فیثاغورث پی برد که هماهنگی صداهای موسیقی را می توان توسط تساع د عددی ساده بیان کرد . اعتقاد فیثاغورثی بر این بود که همه چیز بر حسب اعداد ترتیب یافته است و بعدها پلاتو علم محسنات اعداد فیثاغورث را به صورت علم محسنات تناسب تکمیل نمود او تصاعد فردی ساده را مربع و مکعب نمود تا تصاعد دو برابر و سه برابر را به دست آورد.

معماران رنسانس، با اعتقاد به اینکه بناهایشان بایستی به یک نظام عالی تعلق داشته باشد به سیستم تناسبات ریاضی یونان رجوع نمودند . معماران رنسانس معتقد بودند که معماری ریاضیاتی است که به واحدهای فمنائی برگردانده شده است و با کاربرد تئوری فیثاغورث در مورد واسطه های نسبت های فواصل در گام موسیقی یونان، آنان تصاعدی بی کرانه نسبت ها را که مبنایی برای تناسبات معماریشان تشکیل می داد تشکیل نمودند . این مجموعه نسبت ها نه فقط خود را در ابعاد یک اطلاق یا یک نما نشان می دادند بلکه در تناسبات بهم پیوسته یک رشته فضا یا کل پلان نیز ظاهر می شود.

تناسبات انسانی:

سیستم های تنظیم تناسبات بر حسب تناسبات انسانی بر مبنای ابعاد و تناسبات بدن انسان پایه گذاری شده اند روشهای تنظیم تناسبات بر حسب تناسبات انسانی نه در پی یافتن نسبتهای سمبلیک یا مبهم بلکه به دنبال نسبت های عملکرد می باشند آنها بر این تئوری استناد می کنند که فرمها و فضاها در معماری، یا در برگیرنده و یا در تصرف بدن انسان هستند و بنابراین باید به وسیله ابعاد آن تعیین شوند . اشکالی که در تنظیم تناسبات انسانی وجود دارد نوع اطلاعاتی است که برای کاربرد آن مورد نیاز است . یا ابعاد متوسط همیشه باید با دقت برخورد نمود زیرا ابعاد واقعی مردم که به آنها طرفیم برحسب سن، جنسیت و نژادشان متفاوت است.

ابعاد و تناسبات انسان تأثیرگذار است بر تناسبات اشیائی که بکار می بریم، ارتفاع و فاصله اشیائی که باید به آنها دسترسی یابیم و ابعاد وسائل که برای نشستن، کارکردن، خوردن و خوابیدن مورد استفاده قرار می دهیم . ابعاد بدن انسان، علاوه بر تأثیر گذاری بر این اجزائی که در یک بتا بکار می بریم، بر حجم فضائی که برای حرکت، فعالیت و استراحت نیاز داریم اثر می گذارد.

مقیاس:

مقیاس عمومی: نسبت اندازه یک قسمت بنا به اندازه سایر فرم های پیرامونش

مقیاس انسانی : نسبت اندازه یک قسمت یا یک فضای بنا به ابعاد و تناسبات بدن انسان

تفاوت زیاد مقیاس : برداشت ما را نسبت به کار تغییر می دهد مثلاً در نمای یک ساختمان اگر یکی از پنجره ها بزرگتر باشد مقیاس دیگری را در نما به وجود خواهد آورد یا اینکه نشان دهنده اهمیت فضای پشت پنجره است و یا می تواند برداشت ما را نسبت به سایر پنجره ها یا ابعاد نما عوض کند.

در هر حال، وقتی عرض فضا در حدی باشد که با دراز کردن دستها بتوان دیوارهایش را لمس کرد آن فضا را می توانیم اندازه گیری کنیم یا اگر بتوانیم با دراز کردن دست سطح طاق بالای سر را لمس نماییم می توانیم ارتفاع آن طاق را اندازه گیری کنیم هر گاه نتوانیم این کارها را کنیم به جای استفاده از شیوه لمس کردن باید با سایر نشانه های بصری برای تشخیص مقیاس یک فضا تکیه کنیم .

برای این نشانه ها می توانیم از عناصری که تأمین کننده مقاصد انسانی اند و ابعاد آنها در ارتباط با ابعاد انسان است استفاده کنیم از قبیل اسباب خانه، میز، مبل ی ا صندلی، یا پلکان و در یا پنجره، نه تنها در تشخیص اندازه یک فضا کمک می کنند بلکه به آن یک مقیاس یا یک حالت انسانی می دهند . نزدیک بهم چیده شدن میزها و صندلیها راحتی در سالن نشیمن یک هتل بزرگ، حاکی از وسعت فضا و معرف فضاهای راحت و دارای مقیاس انسانی آن سالن می باشد . از بین سه بعد یک اطاق ( طول، عرض و ارتفاع ) ارتفاع بیشترین تأثیر را در مقیاس آن می گذارد . در حالی که دیوارهای اطاق آنرا محصور می کنند . ارتفاع سقف بالای سر تعیین کننده کیفیت پناه دادن و حالت صمیمیت و گرمی آن است.

مثلاً اطاقی با ابع اد ۱۲ ۱۶ فوت افزایش ارتفاع سقف از ۸ به ۹ فوت بیشتر به چشم می آید و برای غالب افراد راحت به نظر می رسد و فضای ۵۰ ۵۰ فوت با همین ارتفاع موجب احساس ناراحتی می گردد.

سایر عواملی که به غیر بعد عمودی، بر مقیاس فضا اثر می گذارند:

- شکل، رنگ، و نوع سطوح دیوار

- شکل و ترتیب بازشوها

- نوع و مقیاس عناصری که در درون آن قرار دارند.

پیمون در ایران :

نیارش به دانش ایستایی، فن ساختمان و ساختمایه ( مصالح ) شناسی گفته شده است معماران گذشته به نیارش ساختمان بسیار توجه می کردند و آنرا از زیبایی جدا نمی دانستند . آنها به تجربه، به اندازه هایی برای پوشش ها و دهانه ها و

جرزها دست یافته بودند که همه بر پایه نیارش بدست آمده بود پیمودن ( اندازه و مقیاس، اندازه های مشخص و معینی که در طرح تکرار شود . پیمون، عرض در و شناخته شده به دو نوع اصلی است : پیمون کوچک به طول ۱۴ گره و پیمون بزرگ به طول ۱۸ گره ) که با توجه به نیازی که به پیمون بود بکار گرفته می شد و پیروی از پیمون هر گونه نگرانی معمار را درباره نا استواری یا نازیبایی ساختمان از میان می برد و معماران همراه با بهره گیری از پیمون و تکرار آن در اندازه ها و اندام ها، ساختمانها را بسیار گون اگون از کار در می آورند . هیچ دو ساختمانی یکسان از کار در نمی آمدند و هر یک ویژگی خود را داشت گر چه این پیمون در آنها پیروی شده بود.

کن در ژاپن:

کن واحد دیگر سنجش در نیمه دوم قرون وسطی در ژاپن مطرح شد با اینکه کن در اصل فقط برای تعیین فاصله بین دو ستون ب کار می رفت و دارای اندازه های متفاوت بود ولی بزودی در معماری مسکونی به صورت استاندارد درآمد بر خلاف مدول ( پیمون ) شیوه های کلاسیک که قطر یک ستون بود و بر حسب اندازه هر بنا تغییر می کرد کن به صورت اندازه ای مطلق و غیر مشروط مطرح شد کن نه تنها اندازه ای برا ی ساختن بنا بود بلکه به صورت مدولی زیبا که سازه، مصالح و فضای معماری ژاپنی را نظم می داده توسعه یافت.

دو روش طراحی با شبکه مدوله کن توسعه یافت که بر اندازه آن اثر گذاشت در روش ایناکا، ما شبکه کن ( ۶ شاکو ) فواصل آکس تا آکس ستونها را تعیین می کرد. بنابراین اندازه مقرر حصیر کف اتاق تاتامی ( ۳ ۶ شاکویا ۱کن ) به خاطر احتساب ضخامت ستونها به طور جزئی فرق می کرد . در روش کیومها حصیر کف ثابت باقی می ماند و فاصله بین ستونها تغییر می یافت بین ۶ شاکو تغییر می کرد ابعاد اطلاق به وسیله حصیرها ی کف تغییر می / ۶۴ تا ۷کرد اندازه حصیر کف برای جا دادن دو انسان نشسته یا یک انسان در حالت خوابیده طراحی شده است در هر حال با تکامل نظام شبکه ای کف وابستگی حصیر کف به ابعاد انسانی از بین رفت و تابع خواسته های سیستم ساز و فواصل ستونها شد.

می توانند به طرق متعدد و ½ مدول های حصیرهای کف به خاطر داشتن نسبت برای هر اندازه اطلاقی تنظیم شوند . ارتفاع برای هر اندازه اطلاق فرق می کند و به قرار زیر تعیین می شود.

تعداد حصیرها = ارتفاع سقف ( شاکو ) ×۰/۳

در نمونه نوعی از یک مسکن ژاپنی، شبکه کن، سازه و همچنین ردیف اطلاق های تو در توی الفاقی را تنظیم می کند . اندازه نسبتاً کوچک مدول به فضاهای مستطیل شکل امکان می دهد که آزادانه به صورت خطی ، نامنظم یا مجموعه ای آرایش یابند.

سوئیسی‌ها به لوکوربوزیه، معمار بزرگ کشور خود می‌بالند. برای خیلی‌ها که تاکنون لوکوربوزیه را با ملیت فرانسوی می‌شناختند، دیدن تصویر او بر روی اسکناس‌های ۱۰ فرانکی سوئیسی اندکی تعجب‌برانگیز است اما واقعیت این است که او علیرغم تمرکز فعالیت‌هایش در کشور فرانسه، یک سوئیسی به حساب می‌آید و تصویر او و آثارش بر روی اسکناس‌های ۱۰ فرانکی این کشور، به همین خاطر و در ستایش او و تأثیرات غیرقابل انکارش بر معماری مدرن صورت گرفته است. بر روی اسکناس تصویر لوکوربوزیه را می‌بینم با همان عینک قاب مشکی آشنایش و در پشت اسکناس تصویری از نظام مدولاری که او برای طراحی معماری و اجزایش ابداع کرده است. در پس‌زمینه پشت اسکناس تصویری از نمای بنای دادگاه عالی چندیگر در هندوستان که بر مبنای همین تقسیمات مدولار طراحی شده نیز به چشم می‌آید.

لوکوربوزیه انسانی با قد ۸۳/۱ متر را در نظر گرفت و بر مبنای این ارتفاع استاندارد و قابلیت تقسیم‌بندی پیکر انسانها به فواصل مبتنی بر تناسبات طلایی، چهار نقطه از بدن انسان را به عنوان نقاطی که دارای تناسبات طلایی فیبوناچی در فواصل خود نسبت به یکدیگر هستند را معرفی کرد. چهار نقطه مذکور عبارتند از کف پا، ناف، نوک سر و نوک انگشتان دست در حال بلند کرده و این بدان معناست که بر مبنای این نظام “فاصله بین کف پا تا ناف” با مجموع “فاصله بین نوک انگشتان دست با نوک سر” با “فاصله بین نوک سر تا ناف” برابری می‌کند.


تخت جمشيد يا پارسه

تخت جمشید یا پارسه نام یکی از شهرهای باستانی ایران است که سالیان سال پایتخت تشریفاتی امپراتوری ایران در زمان دودمان هخامنشیان بوده‌است. اسکندر مقدونی سردار یونانی در ۳۳۰سال پیش از میلاد، به ایران حمله کرد و تخت جمشید را به آتش کشید. با این‌حال ویرانه‌های این مکان هنوز هم در مرودشت در نزدیکی شیراز مرکز استان فارس برپا است و باستان شناسان از ویرانه‌های آن نشانه‌های آتش و هجوم را بر آن تایید می‌کنند.

پارسه از سال ۱۹۷۹ یکی از آثار ثبت شدهٔ ایران در میراث جهانی یونسکو است.

نام تخت جمشید در زمان ساخت « پارسَه » به معنای «شهر پارسیان» بود. یونانیان آن را پِرسپولیس خوانده‌اند. در فارسی معاصر این بنا را تخت جمشید می خوانند.

قدیمی‌ترین بخش تخت جمشید بر پایهٔ یافته‌های باستان‌شناسی مربوط به سال ۵۱۵ پیش از میلاد است. ساخت تخت جمشید در زمان داریوش بزرگ آغاز گردید و سپس توسط جانشینان وی با تغییراتی در بنای اولیه آن ادامه یافت. بر اساس خشت نوشته‌های کشف شده در تخت جمشید در ساخت این بنای با شکوه معماران، هنرمندان، استادکاران، کارگران، زنان و مردان بی‌شماری شرکت داشتند که علاوه بر دریافت حقوق از مزایای بیمهٔ کارگری نیز استفاده می‌کردند.ساخت این مجموعه بزرگ و زیبا بنا به روایتی ۱۲۰ سال به طول انجامید.

وسعت‌ کامل کاخ‌های‌ تخت‌ جمشید ۱۲۵ هزار متر مربع‌ است

یکی از هنرهای معماری در تخت جمشید این است که نسبت ارتفاع سر درها به عرض آنها و همین طور نسبت ارتفاع ستون‌ها به فاصلهٔ بین دو ستون نسبت طلایی است. نسبت طلایی نسبت مهمی در هندسه‌است که در طبیعت وجود دارد. این نشانگر هنر ابرانیان باستان در معماری است.

+ نوشته شده در  دوشنبه چهارم اردیبهشت 1391ساعت 0:14  توسط کوثرپرداز  | 

عدد طلایی در معماری ایران


عدد طلایی، عددی گنگ و تقریبا" برابر 
618/1 است. این عدد از قرن ها پیش برای انسان شناخته شده بود و استفاده از آن را می توان درساخت اهرام مصر که مربوط به چند هزار سال پیش از میلاد است مشاهده نمود. این عدد به سبب کاربردهای زیادی که درساختارهای طبیعت و شاهکارهای هنری بشر داشته ، مورد توجه ریاضیدانان در طول تاریخ بوده است و هر یک به سهم خود تحقیقاتی روی آن انجام داده اند. اقلیدس در جلد ششم از سیزده جلد کتاب مشهور خود که در آنها هندسه اقلیدسی را بنا نهاد، این نسبت را مطرح کرده‌است. لوکا پاچیولی در سال ۱۵۰۹ میلادی کتابی با عنوان نسبت الهی (The Divine Proportion) تالیف کرد. وی در آن نقاشی‌هایی از لئوناردو داوینچی آورده‌است که پنج جسم افلاطونی را نمایش می‌دهند و در آنها نیز به این نسبت اشاره شده‌است.

همانطر که گفته شد مصریان، سالها قبل از میلاد از این نسبت آگاه بوده‌اند و آن را در ساخت اهرام مصر رعایت کرده‌اند. بسیاری از الگوهای طبیعی در بدن انسان این نسبت را دارا هستند. روانشناسان هم بر این باورند زیباترین مستطیل به دید انسان، مستطیلی است که نسبت طول به عرض آن برابر عدد طلایی باشد.

حال به بررسی هندسی این نسبت به دو شکل مستطیل طلایی و تقسیم پاره خط با نسبت طلایی می پردازیم:
مستطیل طلایی: عبارت است از مستطیلی به مساحت واحد که عرض آن یک واحد کمتر از طول آن است، بنا بر این تعریف داریم:

تقسیم دو پاره خط به نسبت طلایی: پاره خط AB و نقطه C روی آن مفروض است. برای نسبت طلایی پاره خط AB داریم:


با ساده کردن نسبت فوق به همان معادله درجه دوم در بخش مستطیل طلایی خواهیم رسید و با حل معادله نیز یکی از جواب ها عدد طلایی است.
معماری ایرانی و نسبت طلایی 
برج و میدان آزادی: طول بنا 63 و عرض ان 42 است که 5/1=42 : 63 و به عدد طلایی نزدیک می‌باشد سبک معماری آن نیزطاق بزرگی است که تلفیقی از سبک هخامنشی و ساسانی و اسلامی است که منحنی آن با الهام از طاق کسری معماری ایران باستان را تداعی می نماید.
قلعه دالاهو، کرمانشاه: خطی از استحکامات به طول دو و نیم کیلومتر و عرض چهار متر با قلوه و لاشه سنگ به همراه ملات دیوار گچ را می سازد. سرتاسر نمای خارجی این دیوار با مجموعه‌ای از برج ‌های نیم دایره‌ای شکل تقویت شده است. می دانیم6/1=5/2 : 4 که همان عدد طلایی است.
بیستون از دوره هخامنشی، کرمانشاه: به طول 5 کیلومتر و عرض 3 کیلومتراست.اعداد 5 و 3 هردوجزودنباله فیبوناتچی هستند و 6/1=5:3 و ابعاد برجسته کاری 18 در 10 پاست که قامت "داریوش"5 پا و 8 اینچ (170 سانتیمتر) بلندی داردکه هر دو اعداد فیبوناتچی هستند پل ورسک در مازندران: این پل بر روی رودخانه ورسک در مجاورت سواد کوه بنا شد.بلندی این پل 110 متر است وطول قوس آن 66 متر می‌باشد(6/1 = 66 : 110 ).
مقبره ابن سینا: آرامگاه دروسط تالاری مربع شکل قرارگرفته که پله مدور(مارپیچ فیبوناتچی) و پایه‌های دوازده گانه برج را احاطه کرده اند .سطح حیاط باسه پله سراسری به ایوان متصل است.ایوان با دری به ارتفاع 2/3 متر و عرض 9/1 متر به سرسرای آرامگاه متصل است (6/1=9/1 : 2/3 ) در دو طرف سرسرا دو تالار قرار دارد یکی در جنوب که تالار سخنرانی و اجتماعات است.و یکی در شمال که کتابخانه آرامگاه است. طول تالار کتابخانه 45/9 متر وعرض آن 75/5 متر است(6/1=75/5 : 45/9) 

+ نوشته شده در  دوشنبه چهارم اردیبهشت 1391ساعت 0:8  توسط کوثرپرداز  | 

نسبت طلایی جواهر هندسه

عدد طلایی(عدد فی):
قبلا در مورد چگونگي بدست اوردن عدد طلايي از طريق دنباله فيبوناچي صحبت شد.حالا در مورد راههاي ديگر بدست اوردن اين عدد صحبت ميكنيم ... 

در زمانهاي قديم هنرمندان يوناني به خوبي رياضي دانان مستطيل زيبايي مي شناختند كه از نظر هنري عرض 1 و طول X داشت در اين مستطيل هر وقت مربعي به ضلع 1 را از ان جدا كنند باز همان مستطيل با همان نسبتهاي مستطيل اصلي باقي ميماند .
چون مستطيل جديد عرض 1-X و طول 1 دارد و چون نسبت ضعلهاي دو مستطيل با هم برابر است :
x^2-x-1=0
حالا اگر در معادله ي بالا براي X حل كنيم ريشه ي مثبت معادله همان عدد طلايي است:
x=(1+5^0.5)/2
در دنياي رياضي اين عدد را با نشانه يوناني (خوانده ميشود في ) نمايش مي دهند ... 

آشنایی با نسبت طلایی:
Golden Ratio

پاره خطی را در نظر بگیرید و فرض کنید که آنرا بگونه ای تقسیم کنید که نسبت بزرگ به کوچک معادل نسبت کل پاره خط به قسمت بزرگ باشد. به شکل توجه کنید. اگر این معادله ساده یعنی a2=a*b+b2 را حل کنیم (کافی است بجای b عدد یک قرار دهیم بعد a را بدست آوریم) به نسبتی معادل تقریبا" 1.61803399 یا 1.618 خواهیم رسید.
شاید باور نکنید اما بسیاری از طراحان و معماران بزرگ برای طراحی محصولات خود امروز از این نسبت طلایی استفاده می کنند. چرا که بنظر میرسد ذهن انسان با این نسبت انس دارد و راحت تر آنرا می پذیرد. این نسبت نه تنها توسط معماران و مهندسان برای طراحی استفاده می شود بلکه در طبیعت نیز کاربردهای بسیاری دارد که به تدریج راجع به آن صحبت خواهیم کرد.
جواهر هندسه:
کپلر (Johannes Kepler 1571-1630) منجم معروف نیز علاقه بسیاری به نسبت طلایی داشت بگونه ای که در یکی از کتابهای خود اینگونه نوشت : "هندسه دارای دو گنج بسیار با اهمیت می باشد که یکی از آنها قضیه فيثاغورث و دومی رابطه تقسیم یک پاره خط با نسبت طلايي می باشد. اولین گنج را می توان به طلا و دومی را به جواهر تشبیه کرد".
تحقیقاتی که کپلر راجع به مثلثی که اضلاع آن به نسبت اضلاع مثلث مصری باشد به حدی بود که امروزه این مثلث به مثلث کپلر نیز معروف می باشد. کپلر پی به روابط بسیار زیبایی میان اجرام آسمانی و این نسبت طلایی پیدا کرد.

کاربرد های نسبت طلایی:
اهرام مصر یکی از قدیمی ترین ساخته های بشری است که در آن هندسه و ریاضیات بکار رفته شده است. مجموعه اهرام Giza در مصر که قدمت آنها به بیش از 2500 سال پیش از میلاد می رسد یکی از شاهکارهای بشری است که در آن نسبت طلایی بکار رفته است. به این شکل نگاه کنید که در آن بزرگترین هرم از مجموعه اهرام Giza خیلی ساده کشیده شده است.

مثلث قائم الزاویه ای که با نسبت های این هرم شکل گرفته شده باشد به مثلث قائم مصری یا Egyptian Triangle معروف هست و جالب اینجاست که بدانید نسبت وتر به ضلع هم کف هرم معادل با نسبت طلایی یعنی دقیقا" 1.61804 می باشد. این نسبت با عدد طلایی تنها در رقم پنجم اعشار اختلاف دارد یعنی چیزی حدود یک صد هزارم. باز توجه شما را به این نکته جلب می کنیم که اگر معادله فیثاغورث را برای این مثلث قائم الزاویه بنویسم به معادله ای مانند phi2=phi+b2 خواهیم رسید که حاصل جواب آن همان عدد معروف طلایی خواهد بود. (معمولا" عدد طلایی را با phi نمایش می دهند)

طول وتر برای هرم واقعی حدود 356 متر و طول ضلع مربع قاعده حدودا" معادل 440 متر می باشد بنابر این نسبت 356 بر 220 (معادل نیم ضلع مربع) برابر با عدد 1.618 خواهد شد.

هرم " ريم پاپيروس " در اهرام ثلاثه يكي از قديمي ترين مثالها از استفاده از اين عدد در ساخت بناهاست ...
اگر عرض يكي از شالهاي اين هرم را بر فاصله نوك هرم تا نقطه وسط كف هرم تقسيم كنيم جواب 1.6 خواهد بود ...
باستان شناسان مطمئن نيستند كه ايا اين كار از قصد انجام شده يا اتفاقي بوده است !
مطلب جالب ديگر اين است كه اگر قطر اين هرم را به دوبرابر ارتفاع ان تقسيم كنيم جواب عدد پي (3.14) خواهد بود . 

مثال ديگر در بناي پارتنون در يونان وجود دارد .براي ساخت اين بنا كه در 440 BC ساخته شده است از مستطيل طلايي استفاده شده است.

مارپیچ فیبوناچی:
ه شکل زیر نگاه کنید و ببینید که به چه زیبایی از کنار هم قرار دادن تعدادی مربع می توان رشته فیبو ناچی را بصورت هندسی نمایش داد. حال اگر در هر یک از این مربع ها از نقاط قرمز ربع دایره هایی رسم کنیم در نهایب به نوعی از مارپیچ حلزونی شکل می رسیم که به مارپیچ فیبوناچی (Fibonacci Spiral) معروف می باشد. بدیهی است که نرخ رشد و باز شدن این مارپیچ متناسب با نرخ بزرگ شدن اعداد در سری فیبوناچی می باشد.


سری فیبوناچی چه در ریاضیات چه در فیزک و علوم طبیعی کاربردهای بسیار دیگری دارد، ارتباط زیبای فاصله های خوش صدا در موسیقی، چگونگی تولد یک کهکشان و ... که کاربرد این سری جادویی را بیش از پیش نشان می دهد. 

طریقه رسم نسبت طلایی با گونیا و پرگار :
اره خط AB را در نظر بگیرید. مساله ما یافتن نقطه E بر روی این پاره خط می باشد به طوری که نسبت AE به EB یک نسبت طلایی باشد. 

مرحله ۱ : از نقطه B خط BC را عمود بر آن طوری رسم کنید که اندازه BC نصف اندازه AB باشد. ( به کمک پرگار می توانید این کار را انجام بدهید.) 

مرحله ۲ : نقطه A را به نقطه C وصل کنید.

مرحله ۳ : از نقطه C دایره ای به شعاع BC رسم کنید. این دایره خط AC را در نقطه D قطع می کند.

مرحله ۴ : از نقطه A یک دایره به شعاع AD رسم کنید. این دایره خط AB را در نقطه E قطع می کند به طوری که نسبت AE به EB همان نسبت طلایی است.

طریقه رسم مستطیل طلایی با گونیا و پرگار:

مستطیل CBGD را در نظر بگیرید. مساله ما یافتن مستطیلی است که نسبت اضلاع آن یک نسبت طلایی باشد.

مرحله ۱ : نقطه A را در وسط DG پیدا کنید.

مرحله ۲ : از نقطه A یک دایره به شعاع AB رسم کنید.

مرحله ۳ : خط DG را ادامه داده تا دایره به مرکز A را در نقطه E قطع کند. نسبت DE به DC همان نسبت طلایی است و مستطیل CFED یک مستطیل طلایی می باشد.


نسبت طلایی در خوشنویسی:
استاد میرعماد با پالایش خطوط پیشینیان و زدودن اضافات و ناخالصی‌ها از پیکره نستعلیق و نزدیک کردن شگرف نسبت‌های اجزای حروف و کلمات، به اعلا درجه زیبایی یعنی نسبت طلایی رسید و قدمی اساسی در اعتلای هنر نستعلیق برداشت. با بررسی اکثریت قاطع حروف و کلمات میرعماد متوجه می‌‌شویم که این نسبت به عنوان یک الگو در تار و پود حروف و واژه‌ها وجود دارد و زاویه ۴۴۸/۶۳ درجه که مبنای ترسیم مستطیل طلایی است، در شروع قلم گذاری و ادامه رانش قلم، حضوری تعیین کننده دارد. این مهم قطعاً در سایه شعور و حس زیبایی‌شناسی وی حاصل آمده، نه آگاهی از فرمول تقسیم طلایی از دیدگاه هندسی و علوم ریاضی. میرعماد این نسبت‌ها را نه تنها در اجزای حروف بلکه در فاصله دو سطر و مجموعه دو سطر چلیپاها و کادرهای کتابت و قطعات رعایت می‌‌کرده است.


نسبت طلایی در عکاسی:
ترکیب بندی تصویر، در کتابها و مجلات تخصصی عکاسی، اغلب به شکل یک نسخه تجویزی ارائه میشود. انگار که پیروی از تعدادی قاعده میتواند نتیجه قانع کننده ای را تضمین کند. شاید بهتر باشد این قواعد را تنها به عنوان چکیده ایده هایی در نظر گرفت که عکاسان (و البته نقاشان و سایر هنرمندان قرنها پیش از اختراع دوربین) آنها را برای خلق یک تصویر تاثیر گذار، مفید یافته اند.
هر ترکیب بندی عکسی را میتوان کارآمد دانست به شرط این که عناصر صحنه به طور موثر با بینندگان مورد نظر آن عکس، ارتباط برقرار کند. در اغلب موارد، نکته اساسی در شناسایی عناصر کلیدی صحنه نهفته است تا با تنظیم محل دوربین و میزان نور دهی، آنها را از دل سایر اطلاعات تصویری متفرقه، بیرون بکشید. همین اشیاء مزاحم، بسیاری از عکسها را خراب میکنند. اگر عکاسی را تازه شروع کرده اید، بهتر است به جای تمرکز زیاد روی جزییات خیلی خاص، تنها روی ساختار کلی صحنه تمرکز کنید. چرا که تاثیر آنها در مقابل ترکیب بندی عمومی عکس، بسیار سطحی است.


در این مقاله به معرفی سه روش کاربردی در امر ترکیب بندی تصویر پرداخته خواهد شد. در آغاز به معرفی کلی تکنیکی میپردازیم که قرنهاست شناخته شده است یعنی قانون تعادل (یا قانون طلایی - Golden Mean). این قانون در واقع یک فرمول هندسی است که توسط یونانی های باستان ابدا شده.استدلال بر این است که ترکیب بندی ای که بر اساس این تئوری تشکیل شده باشد، تاثیرگذار و قوی مینماید. ایده اصلی که در پس این تئوری است در واقع استفاده از خطوط هندسی است که به سادگی توسط چشم بیننده دنبال شوند. طی قرون متمادی، قانون تعادل (یا قانون طلایی - Golden Mean) راهبردی مهم و ابزاری کارآمد برای هنرمندان و نقاشان به حساب می آمد. امروزه با توجه به ارزش این ابزار، آشنایی با آن به عکاسان نیز توصیه میشود.


قانون یک سوم (خطوط و نقاط طلایی):
قانون یک سوم در واقع مختصر شده مفهوم طلایی است. فلسفه اصلی که در پشت این مفهوم قرار دارد از یک ترکیب و کادر بندی متقارن و مستقر در مرکز کادر که معمولا کسل کننده است جلوگیری می کند. 4 خط تقسیم کننده کادر، خطوط طلایی و محل برخورد این خطوط، نقاط طلایی نامیده میشوند. (شکل های شماره یک و دو)


از بین بردن تقارن با استفاده از قانون یک سوم به دو شکل می تواند صورت بگیرد. در یک روش می توان تصویر را به دو بخش مجزا تقسیم کرد به نحوی که یک قسمت یک سوم و قسمت دیگری دو سوم تصویر را شامل شود (شکل شماره یک).
شکل شماره یک

در روشی دیگر، تمرکز مستقیما بر روی نقاط طلایی است. فرض کنید که منظره ای بسیار زیبا و بدیع پیش رو دارید اما این منظره فاقد یک نمای هندسی و به اصطلاح Geometric خوب و جذاب است. به عبارت دیگر در عین اینکه منظره بسیار خاص و زیبا است اما اگر به صورت تصویر در بیاید تا حدودی کسل کننده خواهد شد.
راه حل چیست؟ سعی کنید در این منظره یکنواخت یک نقطه عطف و تمایز پیدا کنید، نقطه ای که بتواند یکنواختی و یکدستی نما را از بین ببرد. سپس این سوژه را روی یکی از نقاط طلایی قرار دهید. این نقطه اولین نگاه بیننده را جذب کرده و مخاطب را به دیدن باقی تصویر دعوت میکند. (شکل شماره دو)

شکل شماره دو

برای تعیین برخی از اندازه ها به نسبتهای شکیل و زیبا، معروفترین فرمول، شیوه ای است که یونانیان باستان ابداع کرده اند و به " نسبت طلایی" معروف است . نسبت طلایی در اصل، فرمولی ریاضی و دارای زیبایی بصری است. در این روش : ابتدا مربع را با خطی عمود بر دو ضلع مربع به دو مستطیل مساوی تقسیم می کنند، سپس محل تقاطع آن خط با یکی از اضلاع مربع ( نقطه X) را مرکز دایره ای به شعاع قطر مستطیل قرار می دهند ( فاصله X تا Y) و با ترسیم این دایره و تعیین محل تقاطع آن با امتداد ضلع مربع ( نقطه Z) طول مستطیلی معروف به "مستطیل طلایی" به دست می آید که عرض آن برابر ضلع مربع و است و نسبت این طول و عرض ثابت و دارای زیبایی خاصی است (نسبت اندازه پاره خط C به A با نسبت اندازه A به B یکی است) یونانیان در ساخت بسیاری از اشیا و ابینه و معابد و کوره ها و ... آن را به کار می بستند.

قانون یک سوم کادر نیز در واقع همان مفهوم طلایی است. 4 خط تقسیم کننده یک کادر، خطوط طلایی و محل برخورد این خطوط، نقاط طلایی نامیده میشوند.
مارپیچ طلایی:
یکی از ابزارهای ترکیب بندی عکس برای هدایت چشم بیننده به نقطه مورد نظر عکاس، مارپیچ طلایی است. استفاده از این تکنیک در سوژه هایی که با نقاط طلایی سازگار نبوده اند قابل استفاده است. نحوه رسم مارپیچ طلایی نیز به این صورت است.

[IMG]http://www.akkasee.com/content/sanaz/talai2.jpg[/IMG
 اندازه این تصویر کوچک شده است ! برای مشاهده تصویر اصلی اینجا کلیک کنید . اندازه اصلی تصویر 740x200 و حجم آن 57 کیلوبایت میباشد.

نسبت طلایی در بدن انسان:
دانشمندان گذشته نیز از نسبت طلایی استفاده های زیادی کرده اند. به عنوان مثال لئوناردو داوینچی در ترسیم نقاشی معروف خود از بدن انسان از نسبت طلایی بهره گرفته است.


عکسی دیگر در رابطه با نقاشی که با استفاده از نسبت طلایی بر زیبایی آن افزوده شده:

در بدن انسان مثالهای بسیار فراوانی از این نسبت طلایی وجود دارد. در شکل زیر نسبت M/m یک نسبت طلایی است که در جای جای بدن انسان می توان آنرا دید. به عنوان مثال نقاطی از بدن که دارای نسبت طلایی هستند:

نسبت قد انسان به فاصله ناف تا پاشنه پا

نسبت فاصله نوک انگشتان تا آرنج به فاصله مچ تا آرنج

نسبت فاصله شانه تا بالای سر به اندازه سر

نسبت فاصله ناف تا بالای سر به فاصله شانه تا بالای سر

نسبت فاصله ناف تا زانو به فاصله زانو تا پاشنه پا

اینها تنها چند مثال از وجود نسبت طلایی در بدن انسان بود که بدن انسان را در حد کمال زیبایی خود نشان می دهد.
در تصاویر زیر نسبت خط سفید به آبی، آبی به زرد، زرد به سبز و سبز به بنفش یک نسبت طلایی است!!
[code]http://goldennumber.net/images/zahnface.jpg[/IMG]
[code]http://goldennumber.net/images/clooney.gif[/IMG]
برای دیدن اطلاعات بسیار دقیقی از وجود نسبت طلایی در دندانها و دندان پزشکی به این سایت حتما سری بزنید.
کد:
http://www.phimatrix.com/dental/concepts.htm
عکس های تحقیقات دکتر لوین(Dr.Levin):
دکتر لوین یک دندانپزشک است که روی رابطه نسبت طلایی با موضع اعضای دهان و دندان تحقیقاتی انجام داده است.(سایت در بالا معرفی شد)

عکس های دیگری درباره ی رابطه نسبت طلایی و طبیعت:

+ نوشته شده در  دوشنبه چهارم اردیبهشت 1391ساعت 0:5  توسط کوثرپرداز  | 

نسبت طلایی و زیبایی در بدن انسان

http://vatled.img.jugem.jp/20100330_1064372.jpg


http://www.1st-cs.com/mayugenoougonhi.gif


http://www.1st-cs.com/bitekimayuge.gif


برای مشاهده بقیه تصاویر مربوط به نسبت طلایی در بدن انسان روی ادامه مطلب کلیک کنید. 


ادامه مطلب
+ نوشته شده در  جمعه یکم اردیبهشت 1391ساعت 15:44  توسط کوثرپرداز  | 

معمار ریاضی دان

   
عدد طلایی(Golden number)
عدد طلائی عددیست ، تقریباَ مساوی 1.618 ، که خواص جالب بسیاری دارد ،اشکال تعریف شده با نسبت

Image007.png

طلائی ، از نظر زیبائی شناسی در فرهنگهای غربی دلپذیر شناخته شده، چون بازتابنده خاصیتی بین تقارن و عدم تقارن است.

پاره خطی را در نظر بگیرید و فرض کنید که آنرا بگونه ای تقسیم کنید که نسبت بزرگ به کوچک معادل نسبت کل پاره خط به قسمت بزرگ باشد. اگر این معادله ساده یعنی a2=ab+b را حل کنیم (کافی است بجای b عدد یک قرار دهیم بعد a را بدست آوریم) به نسبتی معادل تقریبا
1.61803399 یا 1.618 خواهیم رسید.

تعریف دیگر نسبت طلایی این است که «عددی مثبت است که اگر به آن یک واحد اضافه کنیم به مربع آن خواهیم رسید». تعریف هندسی آن چنین است: طول مستطیلی به مساحت واحد که عرض آن یک واحد کمتر از طولش باشد.
بسیاری از مراجع علمی، حرف یونانی φ را برای این عدد انتخاب کرده‌اند
. اگر عدد فی را بتوان دو برسانیم مثل این است که یک واحد به عدد فی افزوده باشیم یعنی Φ²=Φ+1 و اگر عدد یک را بر فی تقسیم کنیم مثل این است که یک واحد از عدد فی کم کرده باشیم یعنی :
1/Φ=Φ-1

پوسته مارپیچی یک حلزون نمونه ای ساده ودرعین حال زیبا، از نسبت طلائی است.
نسبت قطر مارپیچ های حلزون نیز نسبت 1.618 به یک را دارد.حلزون گوش انسان هم این تناسب را دارد


در یک کندوی عسل همیشه تعداد زنبورهای ماده از نرها بیشتر است. حال اگر تعداد زنبورهای ماده را به نر تقسیم کنیم در هر کندویی در هر گوشه ی کره ی خاکی یک عدد ثابت بدست می آید. که همان فی است.
در مورد دی.ان.ای ، مولکول دی.ان.ای از دو زنجیر پلی نوکئوتیدی ساخته شده. بین بازهای آلی آدنین و تیمین 2 پیوند هیدروژنی و بین بازهای آلی گوانین و سیتوزین 3 پیوند هیدروژنی وجود داره. مطلب جالب در مورد دو رشته پلی نوکلئوتیدی سازنده مولکول دی.ان.ای اینه که هر کدوم از این دوتا رشته 34 آنگستروم طول و 21 آنگستروم پهنا داره که این اعداد و تعداد پیوند ها اعداد دنباله فیبوناچی اند 

... داوینچی نخستین کسی بود که نسبت دقیق استخوان های انسان را اندازه گیری نمود و ثابت کرد که این تناسبات با ضریب عدد فی هستند.

در بدن انسان مثالهای بسیار فراوانی از این نسبت طلایی وجود دارد. در شکل زیر نسبت M/m یک نسبت طلایی است که در جای جای بدن انسان می توان آنرا دید. به عنوان مثال نقاطی از بدن که دارای نسبت طلایی هستند:
نسبت قد انسان به فاصله ناف تا پاشنه پا
نسبت فاصله نوک انگشتان تا آرنج به فاصله مچ تا آرنج
نسبت فاصله شانه تا بالای سر به اندازه سر
نسبت فاصله ناف تا بالای سر به فاصله شانه تا بالای سر
نسبت فاصله ناف تا زانو به فاصله زانو تا پاشنه پا

طول هرسه بند انگشت یکی از انگشتان خود را به دلخواه اندازه بگیرید. اندازه بند بالایی را به وسطی تقسیم کنید. عددی در حدود 1.6 خواهد بود نه ؟!حال همان عمل بالا (تعیین نسبت) را در مورد بند وسط به بند کوچک انجام دهید.

این نسبت نقش پیچیده‌ای در پدیده‌هایی مانند ساختار کریستال‌ها ، سال‌های نوری فاصله بین سیارات و پریودهای چرخش ضریب شکست نور در شیشه ، ترکیب‌های موسیقی، ساختار سیاره‌ها و حیوانات بازی می‌کند . علم ثابت کرده است که این نسبت به راستی نسبت پایه و مبنای خلقت جهان است . هنرمندان دوره رونسانس عدد فی را یک نسبت الهی می‌دانسته‌اند .

در بین مثال‌های بی‌شمار از وجود این نسبت و یکی از برجسته‌ترین آنها مارپیچ های DNA است . این دو مارپیچ فاصله دقیقی را با هم براساس نسبت طلایی حفظ می‌کنند و دور یکدیگر می‌تابند
ردپای نسبت طلایی در دنیای نجوم نیز دیده می شود. در میان حلقه های زحل شکافی وجود دارد به نام کاسینی که بسیار معروف است. شاید جالب باشد که بدانید این شکاف طول حلقه زحل را به نسبت طلایی تقسیم کرده است! اگر فاصله عطارد از خورشید را به عنوان واحد در نظر بگیریم و فاصله بقیه سیاره هارا به طور نسبی (نسبت به سیاره قبلی) به دست بیاوریم به نتایج بسیار جالبی می رسیم

\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\approx 1{,}6180339887\, 
0,5 + \sqrt{1,25}\ = 1.6180339887498948482045868343656...

پرگار جالبی که ضمن حفاری در پمپی ، یکی از شهرهای ایتالیا ، در کارگاه یک مجسمه ساز پیدا شده است ، دال بر اونه که یونانی ها و رومی ها نه تنها از عدد طلایی آگاهی داشتند بلکه از اون تو عمل هم استفاده می کردند این پرگار که هم اکنون در موزهی ناپل نگه داری میشه طولی برابر 146 میلیمتر داره و به وسیله ی لولا به دو بازوی خود با طول های 56 و 90 میلیمتر تقسیم شده که نسبت این دو عدد به عدد طلایی نزدیکه. تو هنر محشر معماری که ناگفته معلومه این عدد چقدر کاربرد داره ... حدود 2500 ساله که از این عدد تو معماری استفاده میشه به طور مثال در بسیاری از معبد های یونانی ، میشه بارها این نسبت رو تو بناها پیدا کرد مثلا ً در معبد پارتئون (معبد دختر) که در بین سالهای 447 تا 338 پیش از میلاد مسیح تو آکروپولیس تو آتن ساخته شده و عظیم ترین یادگار هنر معماری یونان باستان هستش، نسبت ارتفاع تمامی ساختمان به طول تیر بزرگ برابر عدد طلایی است ...

در قرون وسطا برای نسبت طلایی مفهومی عرفانی و خرافی قائل بودند. معماران قرون وسطا رازهای مربوط به پیدا کردن نسبت ها از جمله نسبت طلایی رو با دقت از دیگران پنهان میکردند ،از جمله اوسقف شهر اوترخت به این دلیل که با حیله تونسته بود به روش یافتن نسبت ها تو ساختمان کلیسا ها پی ببره ، جان خودش رو از دست داد. از جمله آثار قرون وسطا که عدد طلایی تو اون به چشم میخوره میشه به یکی از شاهکارهای معماری سده ی دوازدهم میلادی ، کلیسای اوس پنسکی در چرنیگوف (جمهوری اوکراین) اشاره کرد که اگه نسبت اندازه ها تو قسمت های مختلف رو کلیسا رو محاسبه کنیم همه جا به تقریب به عدد طلایی میرسیم.


بعضی از هنرمندای مجسمه ساز هم از این نسبت استفاه میکنند ... به طور مثال برای تقسیم بندی نقاط مختلف صورت میشه از نسبتهای طلایی که در بالا گفتم استفاده کرد اینجوری هم کار طبیعی تر جلوه داده میشه هم به چشم ناظر زیباتر دیده میشه که همش تاثیر عدد طلایی هستش ...
در موسیقی هم عدد طلایی یافت شده ... به طور مثال سر و حلقه ویلن در مستطیل طلایی قرار میگیرد و کاسه آن از دوایری تشکیل شده که نسبت قطر اونا عدد طلایی هستش ... زمانی صدای ساز زیبا جلوه میکنه که نسبت دامنه امواج صوت به عدد طلایی میل کنه و اما در خوشنویسی ، استاد میر عماد با تغییراتی که تو خطوط پیشینیان انجام داد و اضافات و ناخالصی ها رو از پیکره نستعلیق حذف کرد استاد میرعماد نسبت های اجزای حروف و کلمات رو به درجه ی اعلای زیبایی یعنی نسبت طلایی نزدیک کرد . با بررسی اکثریت قاطع حروف و کلمات استاد متوجه میشویم که این نسبت به عنوان یک الگو تو تار و پود حروف و واژه ها وجود داره و زاویه 63.448 درجه که مبنای ترسیم مستطیل طلایی است ، در شروع قلم گذاری و ادامه رانش قلم حضوری تعیین کننده داره.این کارها قطعا ً نتیجه شعور و حس زیبایی شناسی استاد میر عماد هستش نه آگاهی از از فرمول تقسیم طلایی و دیدگاه هندسی و علوم ریاضی کسی و بگیم یه مستطیل بکش ، تو اغلب موارد این نسبت اضلاع این مستطیل به عدد طلایی نزدیکه چون ذهن ما به طور ناخودآگاه اینو میخواد... من خودم اینو امتحان کردم ... مستطیلی که طرف مقابل برام کشید تا 3 رقم اعشار با عدد طلایی یکسان بود ... ) همچنین استاد میر عماد این نسبتها رو تو فاصله بین دو سطر و مجموعه دو سطر چلیپاها و کادرهای کتابت و قطعات رعایت کرده


نسبت دو عضو متوالی دنباله
اولین مطلبی که در زمینه ارتباط با دنباله فیبوناچی قابل ذکر است به این قرار است: دنباله را بار دیگر در نظر می‌بینیم:
۱۰-------۹--------۸--------۷---------۶-------۵-------۴-------۳-------۲-------۱-------شماره جمله
۵۵------۳۴------۲۱-------۱۳-------۸-------۵-------۳-------۲-------۱-------۱-------مقدار جمله
نسبت جمله دوم به اول برابر است با ۱
نسبت جمله سوم به دوم برابر است با ۲
نسبت جمله چهارم به سوم برابر است با ۱٫۵
نسبت جمله پنجم به چهارم برابر است با ۱٫۶۶
نسبت جمله ششم به پنجم برابر است با ۱٫۶
نسبت جمله هفتم به ششم برابر است با ۱٫۶۲۵
نسبت جمله هشتم به هفتم برابر است با ۱٫۶۱۵
نسبت جمله نهم به هشتم برابر است با ۱٫۶۱۹
نسبت جمله دهم به نهم برابر است با ۱٫۶۱۷
به نظر می‌رسد که این رشته به عدد طلایی نزدیک می‌شود. اگر نسبت عدد چهلم این رشته را به عدد قبلی حساب کنیم به عدد ۱٫۶۱۸۰۳۳۹۸۸۷۴۹۸۹۵ می‌رسیم که با تقریب ۱۴ رقم اعشار نسبت طلایی را نشان می‌دهد. نسبت جملات متوالی به عدد طلایی میل می‌کند.


ریاضیات در طبیعت

 

ریاضیدان مشهور ایتالیایی «فیبو ناتچی»در کتاب خود به نام «لیبر آباچی» چنین مسئله ای را طرح کرد:یک جفت خرگوش نر و ماده ی یک ماهه برای تولید نسل بسیار جوان هستند ، اما از دو ماهگی به بعد ،هر ماه یک بار می توانند یک جفت بچه تولید کنند.اگر بچه های آن ها نیز همین عمل را تکرار کنند و هیچ یک از خرگوش ها نیز نمیرد،در هر ماه تعداد خرگوش ها به چند جفت خواهد رسید؟

جدول زیر نشان می دهد که یک جفت خرگوش در طول سال به چه تعداد افزایش می یابد:

ماه

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

جفتهای خرگوش

1

1

2

3

5

8

13

21

34

88

89

144

ردیف پایینی اعداد این جدول،دنباله ی فیبوناتچی نامیده می شود.با بررسی اعداد این مجموعه در می یابید که هر عدد برابر با حاصل جمع دو عدد ماقبل است.همچنین ملاحظه می کنید که اعداد ردیف 9،6،3و12 زوج هستند.در عمل تعداد خرگوش ها این چنین افزایش نمی یابد ، اما دنباله ی فیبوناتچی غالباً در طبیعت بخصوص در رشد گیاهان واقعیت پیدا می کند.برای مثال،اگر گلبرگ های شش گلی را که در تصویر بالا نشان داده شده اند بشماریم،به اعداد همین دنباله می رسیم.اگر هر یک از اعداد مجموعه ی فیبوناتچی را بر عدد قبل از آن تقسیم کنیم،خارج قسمت اعشاری این کسرها عبارت است از:2، 5/1، 66/1 ، 6/1.اگر همین عمل را در مورد بقیه اعداد دنباله ادامه دهیم ، نسبت ها به تدریج به عدد 6183/1 نزدیک می شوند.این عدد را نسبت طلایی می نامند و مدت ها قبل از آن که «فیبوناتچی»کتابش را بنویسد،;کشف شده بود.مصریان برای ساختن اهرامشان از نسبت طلایی استفاده کردند.

به مستطیلی که طول و عرض آن این نسبت را داشته باشد،«مستطیل طلایی»گفته می شود(یعنی مستطیلی که طول آن تقریباً 62/1 و عرض آن یک است).عده ای عقیده دارند که مستطیل طلایی شکلی بسیار دلپذیر و خشنود کننده است.بسیاری از هنرمندان به طور غریزی از نسبت طلایی استفاده کرده اند و یونانیان نیز اشکال و طرح هایی را بر این مبنا به وجود آورده اند. بنای «پارتنون»در میدان «اکروپلیس» واقع در شهر آتن،که در قرن پنجم فبل از میلاد به دست یونانیان باستان ساخته شد،از نسبت های مستطیل پیروی می کند.لوکوربوزیر (Lecorbusier) معمار فرانسوی نیز به این نسبت در زیبایی ساختمان ها توجه داشته است.

در طبیعت مثال های بسیاری را می توان یافت که نسبت طلایی در آن ها موجود است و احتمالاً همه ی ما به طریقی تحت تأثیر آن قرار می گیریم.می توان نشان داد که دانه های برف،پروانه ها،صدف ها و بسیاری از چیزهای دیگر از نسبت طلایی پیروی می کنند.

 

برفدا نه و پروا نه نیز هر دو از نسبت طلایی پیروی می کنند با ترسیم شبکه ها بر روی طرح خارجی شکل آن ها می توان این نسبت را نشان داد.در هر دو مورد نسبت BC/AB برابر نسبت طلایی است.

                                                              

                                              نصيري - دبير رياضي مجتمع شهيد رجائي دوحه 


نسبت طلایی در عکاسی

ترکیب بندی تصویر، در کتابها و مجلات تخصصی عکاسی، اغلب به شکل یک نسخه تجویزی ارائه میشود. انگار که پیروی از تعدادی قاعده میتواند نتیجه قانع کننده ای را تضمین کند. شاید بهتر باشد این قواعد را تنها به عنوان چکیده ایده هایی در نظر گرفت که عکاسان (و البته نقاشان و سایر هنرمندان قرنها پیش از اختراع دوربین) آنها را برای خلق یک تصویر تاثیر گذار، مفید یافته اند.
هر ترکیب بندی عکسی را میتوان کارآمد دانست به شرط این که عناصر صحنه به طور موثر با بینندگان مورد نظر آن عکس، ارتباط برقرار کند. در اغلب موارد، نکته اساسی در شناسایی عناصر کلیدی صحنه نهفته است تا با تنظیم محل دوربین و میزان نور دهی، آنها را از دل سایر اطلاعات تصویری متفرقه، بیرون بکشید. همین اشیاء مزاحم، بسیاری از عکسها را خراب میکنند. اگر عکاسی را تازه شروع کرده اید، بهتر است به جای تمرکز زیاد روی جزییات خیلی خاص، تنها روی ساختار کلی صحنه تمرکز کنید. چرا که تاثیر آنها در مقابل ترکیب بندی عمومی عکس، بسیار سطحی است.
 

در این مقاله به معرفی سه روش کاربردی در امر ترکیب بندی تصویر پرداخته خواهد شد. در آغاز به معرفی کلی تکنیکی میپردازیم که قرنهاست شناخته شده است یعنی قانون تعادل (یا قانون طلایی - Golden Mean). این قانون در واقع یک فرمول هندسی است که توسط یونانی های باستان ابدا شده.استدلال بر این است که ترکیب بندی ای که بر اساس این تئوری تشکیل شده باشد، تاثیرگذار و قوی مینماید. ایده اصلی که در پس این تئوری است در واقع استفاده از خطوط هندسی است که به سادگی توسط چشم بیننده دنبال شوند. طی قرون متمادی، قانون تعادل (یا قانون طلایی - Golden Mean) راهبردی مهم و ابزاری کارآمد برای هنرمندان و نقاشان به حساب می آمد. امروزه با توجه به ارزش این ابزار، آشنایی با آن به عکاسان نیز توصیه میشود.

 

قانون یک سوم  (خطوط و نقاط طلایی):قانون یک سوم در واقع مختصر شده مفهوم طلایی است. فلسفه اصلی که در پشت این مفهوم قرار دارد از

یک ترکیب و کادر بندی متقارن و مستقر در مرکز کادر که معمولا کسل کننده است جلوگیری می کند. 4

خط تقسیم کننده کادر، خطوط طلایی و محل برخورد این خطوط، نقاط طلایی نامیده میشوند. از بین بردن

تقارن با استفاده از قانون یک سوم به دو شکل می تواند صورت بگیرد. در یک روش می توان تصویر را به دو

بخش مجزا تقسیم کرد به نحوی که یک قسمت یک سوم و قسمت دیگری دو سوم تصویر را شامل شود

در روشی دیگر، تمرکز مستقیما بر روی نقاط طلایی است. فرض کنید که منظره ای بسیار زیبا و بدیع پیش

رو دارید اما این منظره فاقد یک نمای هندسی و به اصطلاح Geometric خوب و جذاب است. به عبارت

دیگر در عین اینکه راه حل چیست؟ سعی کنید در این منظره یکنواخت یک نقطه عطف و تمایز پیدا کنید،

نقطه ای که بتواند یکنواختی و یکدستی نما را از بین ببرد. سپس این سوژه را روی یکی از نقاط طلایی قرار

 دهید. این نقطه اولین نگاه بیننده را جذب کرده و مخاطب را به دیدن باقی تصویر دعوت میکند.  منظره

 بسیار خاص و زیبا است اما اگر به صورت تصویر در بیاید تا حدودی کسل کننده خواهد شد. برای تعیین

برخی از اندازه ها به نسبتهای شکیل و زیبا، معروفترین فرمول، شیوه ای است که یونانیان باستان ابداع کرده

اند و به ” نسبت طلایی” معروف است . نسبت طلایی در اصل، فرمولی ریاضی و دارای زیبایی بصری است.

در این روش : ابتدا مربع را با خطی عمود بر دو ضلع مربع به دو مستطیل مساوی تقسیم می کنند، سپس

محل تقاطع آن خط با یکی از اضلاع مربع ( نقطه X) را مرکز دایره ای به شعاع قطر مستطیل قرارمي دهند 

  مستطیل طلایی به دست می آید که عرض آن برابر ضلع مربع و است و نسبت این طول و عرض ثابت و

دارای زیبایی خاصی است (نسبت اندازه پاره خط C به A با نسبت اندازه A به B یکی است) 4 خط

تقسیم کننده یک کادر، خطوط طلایی و محل برخورد این خطوط، نقاط طلایی نامیده میشوند.

مارپیچ طلایی

یکی از ابزارهای ترکیب بندی عکس برای هدایت چشم بیننده به نقطه مورد نظر عکاس، مارپیچ طلایی

است. استفاده از این تکنیک در سوژه هایی که با نقاط طلایی سازگار نبوده اند قابل استفاده است

مارپیچ طلایی

یکی از ابزارهای ترکیب بندی عکس برای هدایت چشم بیننده به نقطه مورد نظر عکاس، مارپیچ طلایی است. استفاده از این تکنیک در سوژه هایی که با نقاط طلایی سازگار نبوده اند قابل استفاده است. نحوه رسم مارپیچ طلایی نیز به این صورت است.


   

+ نوشته شده در  جمعه یکم اردیبهشت 1391ساعت 15:18  توسط کوثرپرداز  | 

کاردهای آشپزخانه فیبوناچی

مسئله اقلیدس،که نام ((نسبت طلایی)) یا((تقسیم به ذات وسط و طرفین)) را بر خود دارد عبارت است از:پاره خطی را به دو قسمت چنان تقسیم کنیدمساحت مستطیلی  که با خود پاره خط و یکی از بخشهای آن ساخته می شود،هم ارز مربعی باشد که با بخش دیگر پاره خط ساخته شده است.

این مسئله در کتابهای درسی امروز،اینطور تنظیم شده است :

پاره خط مفروض را به دو قسمت نامساوی طوری تقسیم کنید که قسمت بزرگتر،واسطه هندسی بین  تمام پاره خط و قسمت کوچکتر باشد.

پاسخ این مسئله عددی نامتناهی و نا متناوب برابر با.. ۶۱۸۰۳/۰  است.

نسبت طلایی به طور آگاهانه ،در ساختمانهای مذهبی ومجسمه سازی مورد استفاده قرارمی گیرد.

 در طبیعت نیز ساختار پنج برگی پیچک ،علی رغم همه بی نظمی ها لا اقل دو تا از پنج پره برگ در زاویه 36 درجه قرار می گیرند،نسبتهای قابل تشخیص تناسب طلایی دقیق نیستند ،ولی شباهتهای تقریبی و زیبایی را نشان می دهند.

در بدن انسان نیز می توان این نسبت را پیدا کرد ،به عنوان مثال پهنای گوش به طول آن و نسبت بین انگشت اشاره بازو شست ،نسبتهای طلایی هستند.

امروزه دندانپزشکان نیز برای زیبا سازی دندانهای جلویی از این نسبت استفاده می کنند.

 

1-nesting_knives-narenji-ir.jpg

اين ست کارد، نمونه اي منحصر به فرد است که بر پايه اصول رياضي و دنباله معروف فيبوناچي طراحي و ساخته شده است. اين 4 کارد استيل که هر کدام کاربرد خاصي دارند، قالب يکديگر هستند و در نهايت در يک قاب قرار مي گيرند که اين قاب، بسته به سفارش از جنس استيل يا چوب مي باشد.

3-nesting_knives-narenji-ir.jpg

دنباله فيبوناچي چه دخالتي در طراحي اينها داشته است؟

همانطور که احتمالاً مي دانيد دنباله فيبوناچي با دو عضو 0 و 1 شروع مي شود و اعداد بعدي با جمع دو عدد آخر توليد مي شوند. براي مثال 10 عضو اول اين دنباله از اين ارقام ساخته شده است:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34

 

2-nesting_knives-narenji-ir.jpg

همانطور که در تصویر بالا مشخص است، مربع ها و دایره ها در تصویر وجود دارد. طول ضلع مربع ها و شعال دوایر تصویر فوق بر اساس اعداد فیبوناچی انتخاب شده و مرکز دایرهای تصویر هم بر روی یک مارپیچ قرار گرفته که به مارپیچ طلایی معروف است.  
 
طراح این کارد ها از طریق زوایا و منحنی های ایجاد شده، نقاط برش و اتصال این ست کارد را مشخص کرده است.

 

+ نوشته شده در  جمعه یکم اردیبهشت 1391ساعت 15:14  توسط کوثرپرداز  | 

عدد طلایی فی در اهرام مصر

از زمان های خیلی قدیم می گفتند که اهرام مصر محتوی اسرار بزرگی است ولی تا این اواخر کسی از این اسرار اطلاع نداشت و فقط به تازگی و آن هم به طور محدود به آن راه یافتند . بزرگ ترین هرم مصر ( ساکاره ) کهن ترین بنای سنگی جهان است که در سال ۲۶۰۰ قبل از میلاد ساخته شده است . در سمت غرب رود نیل بیش از ۸۰ هرم کشف شده است . نصف النهار هرم « کهــؤپس » یعنی خطی که از شمال می آید و از هرم می گذرد و به جنوب ختم می شود بهترین نصف النهار کرهً زمین می باشد از این حیث که زیادتر از خشکی می گذرد . اگر ما منطقهً سکونت نوع بشر را در کرهً خاک به دو قسمت نماییم می بینیم که نصف النهار مزبور از وسط آن دو قسمت می گذرد و هرگاه ارتفاع این هرم را ضرب در رقم یک میلیون بکنیم به طرزی عجیب و دقیق فاصلهً کرهً زمین تا خورشید به دست می آید .
منجمین امروز حساب کرده اند که طول شعاع کرهً زمین از قطب شمال یا قطب جنوب شش میلیون و سیصد و پنجاه و شش هزار و پانصد و بیست ویک متر است و این عدد همان ذراع مقدس مصری است که ضرب در رقم ده میلیون کرده باشند یعنی ذراع مقدس که واحد مقیاس طول در مصر قدیم برای ساختمان اهرام بوده « ۶۳۵۶۵۲۱/۰ » متر طول داشته است . حال اگر ما یکی از اضلاع این هرم را به وسیله ذراع مقدس اندازه بگیریم تا بدانیم جند ذراع است طول سال آسمانی به دست می آید . مقصود از سال آسمانی عبارت از مدتی است که خورشید در آسمان طی می نماید تا به جای اول مراجعت کند .

اینک اگر کرهً مقدس را که جزیی از ذراع مقدس است ضرب در رقم صد میلیون بکنیم خط سیر کرهً زمین در فاصلهً بیست وچهار ساعت گرد محور خود به دست می آید . این محاسبه به قدری دقیق است که با متر امروزی نمی توان آن طور اندازه گرفت . هنگامی که هرم « کهــؤپس » را می ساختند مدخل هرم مقابل ستارهً قطبی بوده ولی اکنون شش هزار سال تغییر کرده اما بعد از نوزده هزار سال و کسری باز هم ستارهً قطبی مقابل مدخل هرم قرار خواهد گرفت زیرا در هر بیست و پنج هزار و هفتصد و نود و شش سال ، ستارهً قطبی به جای اول بر می گردد . به قــــول « آبه مورو » دانشمند معاصر، تمام اکتشافات علمی و جدید ما در هرم « کهــؤپس » موجود است منتها برای ادراک آنها باید به ذراع مقدس پی برد و دانست که هر یک از ابعاد این هرم و مشخصات ساختمان آن چه معنایی دارد .


اگرمقداری آب چند هفته در هرم قرار گیرد به آبی فعال با خواص عجیب تبدیل میگردد. برای مثال، اگر آب آلوده باشد بعد از این مدت کاملا ضد عفونی میشود. دست دختر چهارده ساله که در حادثه ای به شدت آسیب دیده بود، بعد ازسی دقیقه قرار گرفتن در این آب از درد افتاد و بعد از دو روز بهبود پیداکرد. خانمی به نام پتی با استفاده مکرر از این آب چهره ای جوان و شاداب تریافته است. کنی هیل گیاهی را به مدت پنج روز بدون آب داخل هرمنگهداری کرد، زمانی که گیاه را کاملا تازه و شاداب بود از هرم خارج کردبلافاصله پژمرده شد.

اگر بذر گوجه فرنگی داخل هرم کشت شود و سپس نشای آن در بیرون کاشته شود محصول آن چند برابر بوته های مشابه می شود. شیرکه به سرعت فاسد می شود بیش از یک هفته در هرم سالم و قابل استفاده باقی می ماند اما در غلظت آن تغییراتی حاصل می شود. این امر دو شرکت بزرگ ایتالیایی و فرانسوی را بر آن داشته است که پاکتهای مقوایی شیر را به صورت هرم به بازار عرضه کنند.

گوشت در داخل هرمهایی با ابعاد اهرام مصر و یا متناسب با آنها، با وجود آنکه دو سوم از آب خود را از دست می دهد هرگز فاسد نمی شود. آزمایشهای مکرر نشان داده که تیغ صورت تراشی در داخل هرم تیز تر می شود! چنانکه گاه حتی تا ۲۰۰ بار می توان از یک تیغ برای اصلاح کردن صورت استفاده کرد. به شکل بالا نگاه کنید که در آن بزرگترین هرم از مجموعه اهرامGiza خیلی ساده کشیده شده است.

مثلث قائم الزاویه ای که با نسبت های این هرم شکل گرفته شده باشد به مثلث قائم مصری یا Egyptian Triangle معروف هست و جالب اینجاست که بدانید نسبت وتر به ضلع هم کف هرم معادل با نسبت طلایی یعنی دقیقا” ۱٫۶۱۸۰۴ می باشد. این نسبت با عدد طلایی تنها در رقم پنجم اعشار اختلاف دارد یعنی چیزی حدودیک صد هزارم. باز توجه شما را به این نکته جلب می کنیم که اگر معادله فیثاغورث را برای این مثلث قائم الزاویه بنویسم به معادله ای مانند phi2=phi+b2خواهیم رسید که حاصل جواب آن همان عدد معروف طلایی خواهد بود. (معمولا” عدد طلایی را با phi نمایش می دهند) طولوتر برای هرم واقعی حدود ۳۵۶ متر و طول ضلع مربع قاعده حدودا” معادل ۴۴۰متر می باشد بنابر این نسبت ۳۵۶ بر ۲۲۰ (معادل نیم ضلع مربع) برابر با عدد ۱٫۶۱۸ خواهد شد.

کپلر (Johannes Kepler 1571-1630) منجم معروف نیز علاقه بسیاری به نسبت طلایی داشت بگونه ای که در یکی از کتابهای خود اینگونه نوشت : “هندسه دارای دو گنج بسیار با اهمیت می باشد که یکی ازآنها قضیه فیثاغورث و دومی رابطه تقسیم یک پاره خط با نسبت طلایی می باشد. اولین گنج را می توان به طلا و دومی را به جواهر تشبیه کرد”. تحقیقاتی که کپلر راجع به مثلثی که اضلاع آن به نسبت اضلاع مثلث مصری باشد به حدی بود که امروزه این مثلث به مثلث کپلر نیز معروف می باشد. کپلر پی به روابط بسیار زیبایی میان اجرام آسمانی و این نسبت طلایی پیدا کرد.


ادامه مطلب
+ نوشته شده در  جمعه یکم اردیبهشت 1391ساعت 15:12  توسط کوثرپرداز  | 

تاثیر زاد و ولد خرگوشها بر توسعه ریاضیات


۱- فرض کنید یک جفت خرگوش به شما داده شده که تازه به دنیا آمده اند٬یک ماه دیگر بالغ میشوند و دوران بارداری آنها نیز یک ماه طول میکشد و در هر بار زاد و ولد هم یک خرگوش نر و یک خرگوش ماده بدنیا می آورند.یعنی ماه اول و دوم شما یک جفت خرگوش دارید و ماه سوم یک جفت خرگوش دیگر به جفت قبلی اضافه میشود.در مورد ماه چهارم چه میتوان گفت؟جفت اول یک جفت دیگر بدنیا می آورند و جفت دوم بعد از رسیدن به بلوغ در حال طی دوران بارداری هستند.پس در ماه چهارم سه جفت خرگوش خواهید داشت.در ماه پنجم جفت اول چهارمین جفت را بدنیا می آورد و جفت دوم پنجمین جفت را.یعنی در ماه پنجم پنج جفت خرگوش خواهید داشت.

۲- اگر محاسبات را ادامه دهید و تعداد جفتهای خرگوش را در هر ماه پشت سر هم بنویسید به دنباله ی جالبی خواهید رسید ۱ - ۱ - ۲ - ۳ - ۵ - ۸ - ۱۳ - ۲۱ - ۳۴ - ۵۵ - ۸۹ - ۱۴۴ ... اولین نکته ای که از این دنباله نتیجه میشود اینست که جمله اول و دوم آن عدد یک است و از جمله سوم به بعد هر جمله ی دنباله جمع دو جمله ی قبلیست.

۳- اولین بار ریاضیدانی ایتالیایی بنام فیبوناچی این دنباله را در سال ۱۲۰۲ میلادی ارائه کرد که به همین خاطر به دنباله ی فیبوناچی معروف شده است.البته گهگاه به اشتباه از عبارت سری فیبوناچی هم استفاده میشود که خب اگر با تعریف دنباله و سری در ریاضیات آشنا باشید میدانید که دنباله ی فیبوناچی یک دنباله ی بازگشتی است و سری نیست(هر چند که سری نوعی دنباله است!!!)از مهمترین کارهای فیبوناچی معرفی سیستم اعشاری(که امروزه برای نمایش اعداد مورد استفاده قرار می گیرد)بجای سیستم اعداد رومی که در آن زمان مرسوم بود و آنچنان هم کارآمد نبود٬می باشد.

۴- خیلی خب٬به دنباله فیبوناچی باز گردیم.نکته ی جالب در مورد این دنباله آنکه این دنباله در بعضی دیگر از رویدادهای طبیعی هم قابل مشاهده است.مثلا اگر به گلهایی که داری گلبرگهای زیادند توجه کنید میبینید که تعداد گلبرگهای گل با شروع از وسط گل٬روی هر لایه گلبرگ که به شکل دایره است٬مطابق با همین دنباله زیاد میشود.

۵- اما نکته ی بسیار جالب دیگر در مورد دنباله فیبوناچی اینست که اگر شما هر جمله از این دنباله را به جمله قبلی تقسیم کنید دنباله ی جدیدی حاصل میشود که به عدد ثابت ... ۱.۶۱۸۰۳۳ = ۲/(۵√+۱) همگراست.این عدد ریشه ی مثبت معادله x^۲ - x -1=0 است که به عدد طلایی معروف است.

۶- دانشمندان متوجه شده اند که این عدد گنگ در بسیاری از رخدادهای طبیعی ظاهر میشود و اگر ساختاری بر پایه ی این عدد بنا شود از لحاظ انسان ساختاری زیبا تلقی میشود.مثلا در ساخت اهرام مصر(آگاهانه یا ناآگاهانه)از نسبت طلایی استفاده شده یا لئورناردو داوینچی با این نسبت آشنا بوده و در نقاشیهایش از آن استفاده میکرده است.

۷- مثالهای طبیعی زیادی نیز در ارتباط با عدد طلایی وجود دارد که نشان میدهد خداوند این جهان را بر پایه ریاضیات بنا کرده است..اگر قد انسان را بر فاصله کف پا تا ناف تقسیم کنید عدد طلایی حاصل میشود.اگر فاصله نوک انگشتان تا آرنج را بر فاصله مچ تا آرنج تقسیم کنید باز هم به عدد طلایی خواهد رسید.همچنین این نسبت در مارپیچ DNA (که مشابه مارپیچ حلزون هاست) نیز دیده میشود.اگر از مرکز این مارپیچ خط مستقیمی به سمت بیرون مارپیچ رسم کنید٬نقاط تقاطع این خط با مارپیچ پاره خطهایی را مشخص میکند که نسبت هر دو پاره خط مجاور عدد طلایی خواهد بود!!!

+ نوشته شده در  جمعه یکم اردیبهشت 1391ساعت 15:10  توسط کوثرپرداز  | 

فی عدد دوست داشتنی طبیعت


عدد فی(Φ) یا همان عدد طلایی و یا به قول هنرمندان٬ عدد الهی است. لازم می دونم توضیح کوتاهی درباره این عدد بدم تا یکی از رازهای عجیب کائنات آشکار بشه.
همه دوستان با دنباله فیبوناچی آشنا هستند.در این دنباله هر عدد برابراست با مجموع دو عدد قبلی اش.:
... ,0،1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233
مثلا ۱+۱=۲ ٬ ۲+۱=۳ ٬ ۳+۲=۵ ٬ ۵+۳=۸ و ....

حال اگر هر عدد را در این دنباله بر عدد قبلی خود تقسیم کنیم ٬ هرچه به سمت راست دنباله پیش میریم به یک عدد شگفت انگیزی میرسیم که به عدد فی معروف است:
1=1÷1
2=1÷2
1.5=2÷3
...1.66=3÷5
هر چه جلوتر میریم به یک عددی نزدیک میشیم برابر با 1.618033 که به طور اختصارفی را برابر با 1.618 می خوانند.

۱- در هر کندوی عسل در سراسر جهان ٬ نسبت زنبورهای ماده به زنبورهای نر برابر 1.618 است یعنی عدد فی.
۲- در صدف نرم تنان نسبت قطر هر مارپیچ به مارپیچ قبلی اش عدد 1.618 است یعنی عدد فی.
۳-در گل افتابگردان اگه دقت کنید تخمه ها به صورت مارپیچ کنار هم چیده شده اند.قطر هر مارپیچ به مارپیچ قبلی اش عدد 1.618 است یعنی عدد فی.
۴- فاصله سر تا زمین تقسیم بر فاصله ناف تا زمین میشه عدد 1.618 یعنی عدد فی.
۵- فاصله شانه تا نوک انگشتان تقسیم بر فاصله آرنج تا نوک انگشتان عدد 1.618 یعنی عدد فی
۶-فاصله انتهای کمر تا زمین تقسیم بر قاصله زانو تا زمین میشه عدد 1.618 یعنی عدد فی
۷- فاصله مفاصل انگشتان تا نوک انگشتان تقسیم بر فاصله مفصل بعدی تا نوک انگشتان عدد 1.618 یعنی عدد فی
۸- در یک گردباد نسبت قطر مارپیچ بزرگتر به مرپیچ کوچکترش میشه عدد شگفت انگیز فی
۹- در یک کهکشان نسبت قطر مارپیچ بزرگتر به مرپیچ کوچکترش میشه عدد شگفت انگیز فی
۱۰- در حلزون گوش داخلی نسبت قطر مارپیچ بزرگتر به مرپیچ کوچکترش میشه عدد شگفت انگیز فی

مختون سوت کشید ... نه!!!

نسبت طلایی در طبیعت، آثار هنری و معماری متعددی مشاهده می شود. به عنوان نمونه نسبت طلایی اساس نقاشی مشهور مرد ویترووین داوینچی است. نمای معبد پارتنون در آتن یک مستطیل طلایی کامل است. خانه مارپیچی شکل حلزون ها یک نمونه بسیار مشهور از کاربرد نسبت طلایی در طبیعت است همانگونه که مارپیچ مولکول DNA انسان نیز اینگونه است.

توضیح: عدد فی برابر است با ۱.۶۱۸
در قرن 12، لئوناردو فيبوناچي ( Leonardo Fibonacci ) دنباله ي مشهور خود را معرفي نمود. جمله ي بعدي برابر مجموع دو جمله ي قبلي خود مي باشد.

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, . . .


عدد في از دنباله ي فيبوناچي مشتق شده است، تصاعد مشهوري كه شهرتش تنها به اين دليل نيست كه هرجمله با مجموع دو جمله ي پيشين خود برابري مي كند. بلكه به اين دليل است كه خارج قسمت هر دو جمله ي كنار هم خاصيت حيرت انگيز، نزديكي به عدد 1.618 را دارد.
نكته ي جالب اين است كه عدد في با عدد پنج نسبت جالبي دارد كه در زير مشاهده مي كنيد:
5.+5.*5.^5 = Phi



در زير مقداري از اين عدد نا متناهي را مي بينيد:
1.61803398874989484 8204586834365638 1177203091798057 6286213544862270 526046281890 2449707207204189391 1374847540880753 8689175212663386 2223536931793180 06076672635 4433389086595939582 9056383226613199 2829026788067520 8766892501711696 20703222104 3216269548626296313 6144381497587012 2034080588795445 4749246185695364 86444924104 4320771344947049565 8467885098743394 4221254487706647 8091588460749988 71240076521 7057517978834166256 2494075890697040 0028121042762177 1117778053153171 41011704666 5991466979873176135 6006708748071013 1795236894275219 4843530567830022 87856997829 7783478458782289110 9762500302696156 1700250464338243 7764861028383126 83303724292 6752631165339247316 7111211588186385 1331620384005222 1657912866752946 54906811317 1599343235973494985 0904094762132229 8101726107059611 6456299098162905 55208524790 3524060201727997471 7534277759277862 5619432082750513 1218156285512224 80939471234 1451702237358057727 8616008688382952 3045926478780178 89921 9902707769038953219 68 1 9861514378031499741 1069260886742962 2675756052317277 7520353613936210 76738937645 5606060592165894667 5955190040055590 8950229530942312 4823552122124154 44006470340 5657347976639723949 4994658457887303 9623090375033993 8562102423690251 38680414577 9956981224457471780 3417312645322041 6397232134044449 4873023154176768 93752103068 7378803441700939544 0962795589867872 3209512426893557 3097045095956844 01755519881 9218020640529055189 3494759260073485 2282101088194644 5442223188913192 94689622002 3014437702699230078 0308526118075451 9288770502109684 2493627135925187 60777884665 8361502389134933331 2231053392321362 4319263728910670 5033992822652635 56209029798 6424727597725655086 1548754357482647 1814145127000602 3890162077732244 99435308899 9095016803281121943 2048196438767586 3314798571911397 8153978074761507 72211750826 9458639320456520989 6985556781410696 8372884058746103 3781054443909436 83583581381

....
حيوانات، گياهان و حتي انسان ها همگي با دقتي بسيار بالا وجوهي از ضرايب في به يك مي باشند. دانشمندان قديم 1.618 را نسبت الهي عنوان كرده اند. براي آشنايي بيشتر با اين نسبت به چند نمونه ي زير توجه كنيد:
در يك كندوي عسل هميشه تعداد زنبورهاي ماده از نرها بيشتر است. حال اگر تعداد زنبورهاي ماده را به نر تقسيم كنيم در هر كندويي در هر گوشه ي دنيا يك عدد ثابت بدست مي آيد. كه همان في است.
نسبت قطر مارپيچ هاي حلزون نيز نسبت 1.618 به يك را دارد

تخمه هاي آفتابگردان به شكل مارپيچ هايي روبروي هم رشد مي كنند. نسبت قطر هر دايره به دايره بعدي 1.618 مي باشد.
به نسبت هاي طولي و عرضي خطوط رنگي دقت كنيد... نسبت خطوط به هم 1.618 مي باشد .
نسبت طولي و عرضي خال هاي پروانه ها، نسبت في است


داوينچي اولين كسي بود كه نسبت دقيق استخوان هاي انسان را اندازه گيري نمود و ثابت كرد كه اين تناسبات با ضريب عدد في هستند.

فاصله سر تا زمين را تقسيم بر فاصله ي شكم تا زمين نماييد. عدد حاصله 1.618 مي باشد. فاصله شانه ها تا نوك انگشت تقسيم بر فاصله آرنج تا نوك انگشت هم بيانگر عدد في مي باشد. نمونه هاي ديگر: باسن تا زمين تقسيم بر زانو تا زمين مفاصل انگشتان... تقسيمات ستون فقرات و ...




همان طور كه مي دانيد DNA زنجيره ي حياتي هر موجودي است كه در آن كليه اطلاعات آن موجود بصورت كد و زنجيروار قرار دارد. 34آنگستروم طول و 21 آنگستروم پهنا دارد.
و 34 و 21 جزو اعداد سري فيبوناچي هستند و تقسيم آنها بر يكديگر عدد 1.61904 را نشان مي دهد كه كاملا نزديك 1.6180339 مي باشد.
+ نوشته شده در  جمعه یکم اردیبهشت 1391ساعت 15:9  توسط کوثرپرداز  | 

اعدادی که محبوب طبیعت اند

نویسنده : محمد - ساعت ۱٠:٤۱ ‎ب.ظ روز ۱۳۸٧/۳/٢٢
 
رجحانی که طبیعت برای بعضی از اعداد و دنباله ها قائل است مدت ها است که ریاضیدانان را به شگفتی واداشته است. مثلاً نسبت طلایی بین طول و عرض مستطیل (که تقریباً برابر 62/1 است و به نظر می رسد از لحاظ زیبایی شناسی بهترین نسبت بین ابعاد مستطیل است) در جاها و چیزهای مختلفی، از گوش ماهی گرفته تا گرگ ها، حضور دارد. نمونه دیگر دنباله فیبوناچی است که هریک از اعداد آن، جمع دو عدد قبلی خود هستند یعنی... 8 ، 5 ، 3 ، 2 ، 1 ، 1. این دنباله را نیز در همه جای طبیعت از برگ درختان گرفته تا پوست آناناس می توان تعقیب کرد. قانون بنفرد نیز ظاهراً یکی دیگر از این موارد بنیادی در جهان ریاضیات است که طبق آن نسبت اعدادی که با رقم D شروع می شوند به صورت log10(1/D+1) بیان می شود.
ولی ریاضیات قانون بنفرد از این نیز فراتر می رود و می تواند نسبت اعداد در ارقام بعدی را هم بیان دارد. مثلاً طبق این قانون عدد صفر محتمل ترین عدد به عنوان دومین رقم است.
احتمال صفر بودن رقم دوم حدود 12 درصد است و احتمال 9 بودن آن حدود 5/8 درصد است که کم احتمال ترین رقم است.
براین اساس از قانون بنفرد چنین بر می آید که اگر عدد غیرتصادفی باشد احتمال شروع شدن آن با 10 حدود 10 برابر احتمال شروع شدن با 99 (کم احتمال ترین حالت) است. همان طوری که انتظار می رود قانون بنفرد بیان می دارد که برای ارقام بعدی، احتمال های 1 ، 2 ، 3 ،... و 9 بودن ارقام به تساوی میل می کند تا حدی که در اعداد بزرگ، برای آخرین رقم دقیقاً 10 درصد می شوند.
در اینجا باید به نکته ظریف دیگری نیز اشاره کرد و آن این است که دنباله فیبوناچی، نسبت طلایی و قانون بنفرد با یکدیگر ربط دارند. یعنی نسبت اعداد پشت سرهم در دنباله فیبوناچی به سمت نسبت طلایی میل می کند و این در حالی است که ارقام تمامی اعداد موجود در دنباله فیبوناچی از قانون بنفرد تبعیت می کنند.

ادامه مطلب
+ نوشته شده در  جمعه یکم اردیبهشت 1391ساعت 15:5  توسط کوثرپرداز  | 

بازتابنده خاصیتی بین تقارن و عدم تقارن

عدد طلائی عددیست ، تقریباَ مساوی 1.618 ، که خواص جالب بسیاری دارد ،اشکال تعریف شده با نسبت طلائی ، از نظر زیبائی شناسی در فرهنگهای غربی دلپذیر شناخته شده، چون بازتابنده خاصیتی بین تقارن و عدم تقارن است.

پاره خطی را در نظر بگیرید و فرض کنید که آنرا بگونه ای تقسیم کنید که نسبت بزرگ به کوچک معادل نسبت کل پاره خط به قسمت بزرگ باشد. اگر این معادله ساده یعنی a2=ab+b را حل کنیم (کافی است بجای b عدد یک قرار دهیم بعد a را بدست آوریم) به نسبتی معادل تقریبا
1.61803399 یا 1.618 خواهیم رسید.
تعریف دیگر نسبت طلایی این است که «عددی مثبت است که اگر به آن یک واحد اضافه کنیم به مربع آن خواهیم رسید». تعریف هندسی آن چنین است: طول مستطیلی به مساحت واحد که عرض آن یک واحد کمتر از طولش باشد.
بسیاری از مراجع علمی، حرف یونانی φ را برای این عدد انتخاب کرده‌اند
. اگر عدد في را بتوان دو برسانيم مثل اين است كه يك واحد به عدد في افزوده باشيم يعني Φ²=Φ+1 و اگر عدد يك را بر في تقسيم كنيم مثل اين است كه يك واحد از عدد في كم كرده باشيم يعني :
1/Φ=Φ-1

پوسته مارپيچي يک حلزون نمونه اي ساده ودرعين حال زيبا، از نسبت طلائي است.
نسبت قطر مارپیچ های حلزون نیز نسبت 1.618 به یک را دارد.حلزون گوش انسان هم این تناسب را دارد
در یک کندوی عسل همیشه تعداد زنبورهای ماده از نرها بیشتر است. حال اگر تعداد زنبورهای ماده را به نر تقسیم کنیم در هر کندویی در هر گوشه ی کره ی خاکی یک عدد ثابت بدست می آید. که همان فی است.
در مورد دی.ان.ای ، مولکول دی.ان.ای از دو زنجیر پلی نوکئوتیدی ساخته شده. بین بازهای آلی آدنین و تیمین 2 پیوند هیدروژنی و بین بازهای آلی گوانین و سیتوزین 3 پیوند هیدروژنی وجود داره. مطلب جالب در مورد دو رشته پلی نوکلئوتیدی سازنده مولکول دی.ان.ای اینه که هر کدوم از این دوتا رشته 34 آنگستروم طول و 21 آنگستروم پهنا داره که این اعداد و تعداد پیوند ها اعداد دنباله فیبوناچی اند (جهت اطلاع اونایی که نمیدونن بگم که اگه میخواین بدونین یه آنگستروم چقدره ، برید یه متر به طول یک متر بردارید و اون یه متر رو ده میلیارد قسمت کنید هر قسمت برابر یه آمگسترومه!!!) ... داوینچی نخستین کسی بود که نسبت دقیق استخوان های انسان را اندازه گیری نمود و ثابت کرد که این تناسبات با ضریب عدد فی هستند.
در بدن انسان مثالهاي بسيار فراواني از اين نسبت طلايي وجود دارد. در شکل زير نسبت M/m يک نسبت طلايي است که در جاي جاي بدن انسان مي توان آنرا ديد. به عنوان مثال نقاطي از بدن که داراي نسبت طلايي هستند:
نسبت قد انسان به فاصله ناف تا پاشنه پا
نسبت فاصله نوک انگشتان تا آرنج به فاصله مچ تا آرنج
نسبت فاصله شانه تا بالاي سر به اندازه سر
نسبت فاصله ناف تا بالاي سر به فاصله شانه تا بالاي سر
نسبت فاصله ناف تا زانو به فاصله زانو تا پاشنه پا
- هر گاه شما طول صورت فردي را به عرض ان تقسيم كنيد هر چقدر اين عدد به عدد طلايي نزديكتر باشد ان فرد باهوشتر است    ( ثابت نشده.)
طول هرسه بند انگشت يكي از انگشتان خود را به دلخواه اندازه بگيريد. اندازه بند بالايي را به وسطي تقسيم كنيد. عددي در حدود 1.6 خواهد بود نه ؟!حال همان عمل بالا (تعيين نسبت) را در مورد بند وسط به بند كوچك انجام دهيد.
اين نسبت نقش پيچيده‌اي در پديده‌هايي مانند ساختار كريستال‌ها ، سال‌هاي نوري فاصله بين سيارات و پريودهاي چرخش ضريب شكست نور در شيشه ، تركيب‌هاي موسيقي، ساختار سياره‌ها و حيوانات بازي مي‌كند . علم ثابت كرده است كه اين نسبت به راستي نسبت پايه و مبناي خلقت جهان است . هنرمندان دوره رونسانس عدد في را يك نسبت الهي مي‌دانسته‌اند .
در بين مثال‌هاي بي‌شمار از وجود اين نسبت و يكي از برجسته‌ترين آنها مارپيچ هاي DNA است . اين دو مارپيچ فاصله دقيقي را با هم براساس نسبت طلايي حفظ مي‌كنند و دور يكديگر مي‌تابند
ردپای نسبت طلایی در دنیای نجوم نیز دیده می شود. در میان حلقه های زحل شکافی وجود دارد به نام کاسینی که بسیار معروف است. شاید جالب باشد که بدانید این شکاف طول حلقه زحل را به نسبت طلایی تقسیم کرده است! اگر فاصله عطارد از خورشید را به عنوان واحد در نظر بگیریم و فاصله بقیه سیاره هارا به طور نسبی (نسبت به سیاره قبلی) به دست بیاوریم به نتایج بسیار جالبی می رسیم

پرگار جالبی که ضمن حفاری در پمپی ، یکی از شهرهای ایتالیا ، در کارگاه یک مجسمه ساز پیدا شده است ، دال بر اونه که یونانی ها و رومی ها نه تنها از عدد طلایی آگاهی داشتند بلکه از اون تو عمل هم استفاده می کردند این پرگار که هم اکنون در موزهی ناپل نگه داری میشه طولی برابر 146 میلیمتر داره و به وسیله ی لولا به دو بازوی خود با طول های 56 و 90 میلیمتر تقسیم شده که نسبت این دو عدد به عدد طلایی نزدیکه. تو هنر محشر معماری که ناگفته معلومه این عدد چقدر کاربرد داره ... حدود 2500 ساله که از این عدد تو معماری استفاده میشه به طور مثال در بسیاری از معبد های یونانی ، میشه بارها این نسبت رو تو بناها پیدا کرد مثلا ً در معبد پارتئون (معبد دختر) که در بین سالهای 447 تا 338 پیش از میلاد مسیح تو آکروپولیس تو آتن ساخته شده و عظیم ترین یادگار هنر معماری یونان باستان هستش، نسبت ارتفاع تمامی ساختمان به طول تیر بزرگ برابر عدد طلایی است ...

در قرون وسطا برای نسبت طلایی مفهومی عرفانی و خرافی قائل بودند. معماران قرون وسطا رازهای مربوط به پیدا کردن نسبت ها از جمله نسبت طلایی رو با دقت از دیگران پنهان میکردند ،از جمله اوسقف شهر اوترخت به این دلیل که با حیله تونسته بود به روش یافتن نسبت ها تو ساختمان کلیسا ها پی ببره ، جان خودش رو از دست داد. از جمله آثار قرون وسطا که عدد طلایی تو اون به چشم میخوره میشه به یکی از شاهکارهای معماری سده ی دوازدهم میلادی ، کلیسای اوس پنسکی در چرنیگوف (جمهوری اوکراین) اشاره کرد که اگه نسبت اندازه ها تو قسمت های مختلف رو کلیسا رو محاسبه کنیم همه جا به تقریب به عدد طلایی میرسیم.

بعضی از هنرمندای مجسمه ساز هم از این نسبت استفاه میکنند ... به طور مثال برای تقسیم بندی نقاط مختلف صورت میشه از نسبتهای طلایی که در بالا گفتم استفاده کرد اینجوری هم کار طبیعی تر جلوه داده میشه هم به چشم ناظر زیباتر دیده میشه که همش تاثیر عدد طلایی هستش ...
در موسیقی هم عدد طلایی یافت شده ... به طور مثال سر و حلقه ویلن در مستطیل طلایی قرار میگیرد و کاسه آن از دوایری تشکیل شده که نسبت قطر اونا عدد طلایی هستش ... زمانی صدای ساز زیبا جلوه میکنه که نسبت دامنه امواج صوت به عدد طلایی میل کنه و اما در خوشنویسی ، استاد میر عماد با تغییراتی که تو خطوط پیشینیان انجام داد و اضافات و ناخالصی ها رو از پیکره نستعلیق حذف کرد استاد میرعماد نسبت های اجزای حروف و کلمات رو به درجه ی اعلای زیبایی یعنی نسبت طلایی نزدیک کرد . با بررسی اکثریت قاطع حروف و کلمات استاد متوجه میشویم که این نسبت به عنوان یک الگو تو تار و پود حروف و واژه ها وجود داره و زاویه 63.448 درجه که مبنای ترسیم مستطیل طلایی است ، در شروع قلم گذاری و ادامه رانش قلم حضوری تعیین کننده داره.این کارها قطعا ً نتیجه شعور و حس زیبایی شناسی استاد میر عماد هستش نه آگاهی از از فرمول تقسیم طلایی و دیدگاه هندسی و علوم ریاضی کسی و بگیم یه مستطیل بکش ، تو اغلب موارد این نسبت اضلاع این مستطیل به عدد طلایی نزدیکه چون ذهن ما به طور ناخودآگاه اینو میخواد... من خودم اینو امتحان کردم ... مستطیلی که طرف مقابل برام کشید تا 3 رقم اعشار با عدد طلایی یکسان بود ... ) همچنین استاد میر عماد این نسبتها رو تو فاصله بین دو سطر و مجموعه دو سطر چلیپاها و کادرهای کتابت و قطعات رعایت کرده

نسبت دو عضو متوالی دنباله
اولین مطلبی که در زمینه ارتباط با دنباله فیبوناچی قابل ذکر است به این قرار است: دنباله را بار دیگر در نظر می‌بینیم:
۱۰-------۹--------۸--------۷---------۶-------۵-------۴-------۳-------۲-------۱-------شماره جمله
۵۵------۳۴------۲۱-------۱۳-------۸-------۵-------۳-------۲-------۱-------۱-------مقدار جمله
نسبت جمله دوم به اول برابر است با ۱
نسبت جمله سوم به دوم برابر است با ۲
نسبت جمله چهارم به سوم برابر است با ۱٫۵
نسبت جمله پنجم به چهارم برابر است با ۱٫۶۶
نسبت جمله ششم به پنجم برابر است با ۱٫۶
نسبت جمله هفتم به ششم برابر است با ۱٫۶۲۵
نسبت جمله هشتم به هفتم برابر است با ۱٫۶۱۵
نسبت جمله نهم به هشتم برابر است با ۱٫۶۱۹
نسبت جمله دهم به نهم برابر است با ۱٫۶۱۷
به نظر می‌رسد که این رشته به عدد طلایی نزدیک می‌شود. اگر نسبت عدد چهلم این رشته را به عدد قبلی حساب کنیم به عدد ۱٫۶۱۸۰۳۳۹۸۸۷۴۹۸۹۵ می‌رسیم که با تقریب ۱۴ رقم اعشار نسبت طلایی را نشان می‌دهد. نسبت جملات متوالی به عدد طلایی میل می‌کند.

منبع : اینترنت
+ نوشته شده در  جمعه یکم اردیبهشت 1391ساعت 15:4  توسط کوثرپرداز  | 

استفاده از نسبت طلائی در آثار معماری یونان باستان

استفاده از نسبت طلائی در آثار معماری یونان باستان
دسته بندی : مطالب جالب متفرقه , مقالات عمومی

فیثاغورس, هندسه دان یونانی بسیار به مبحث نسبت طلایی علاقه داشت و اثبات کرد نسبت طلائی پایه نسبت شکل ظاهری انسان است. وی نشان داد اعضای بدن انسان همگی به دقت دارای نسبت طلائی نسبت به همدیگر هستند. این اکتشاف فیثاغورس تاثیر بسیار بزرگی بر هنر یونانی داشت. از قسمتهای بزرگ ساختمانها تا ریزترین جزئیات و دکوراسیونهای یونان همگی بر اساس همین نسبت ساخته شدند.

 

نسبت طلائی در پارتنون - شاهکار یونان باستان

احتمالا پارتنون بهترین مثال از تداخل ریاضیات و هنر است. پارتنون توسط Ictinus و Callicrates بر اساس اصول ریاضی طراحی شده است. ستونهای اطراف آن یک مثال از “عدد” بود: ۸ ستون در جلوی آن که یک عدد زوج بوده و باعث میشده هیچ ستونی در دهانه وسطی باعث بسته شدن دید نشود. اما ۱۷ ستون در هر طرف ساختمان.همچنین برخی از خطوط ساختمان به طوری انحنا داده شده اند تا خطای دید را اصلاح کنند. اما مهمتر از همه نسبتهای معماری است که در آن بکار رفته است و این سازه را به نگینی در میان آثار معماری جهان تبدیل کرده است. چیزی که باعث شده پژوهشگران هنوز از هارمونی موجود در بین ساختمان و اجزاء آن حیرت زده بمانند. این زیبایی با استفاده از “مستطیل دینامیکی” که در آن زمان بسیار رایج بود بدست آمده است. همانند بسیاری از معبدهای دیگر یونانی در پارتنون از “مستطیل ریشه پنجم”, یک مستطیلی با نسبت اضلاع کناری رادیکال پنج.


مجسمه ونوس د میلو – Venus De Milo – توسط مجسمه ساز معروف یونانی, الکساندروس ساخته شده است.همانطور که در تصویر زیر مشاهده میکنید این مجسمه نسبت دقیق ۱٫۶۱۸۰۳۳۹۸۸۷ که همان نسبت طلائی فیثاغورس هست را رعایت کرده است.

 

استفاده از نسبت طلائی فیثاغورس در مجسمه های آتنی

در این مجسمه آتنی اولین نسبت طلائی فاصله بین جلوی صورت تا گوشها و فاصله از پیشانی تا چانه است و دومین نسبت طلایی بین سوراخ بینی تا سوراخ گوش و سوراخ بینی تا چانه است.

محقق: علیرضا راحت


منبع: سیویلتکت » استفاده از نسبت طلائی در آثار معماری یونان باستان
+ نوشته شده در  جمعه یکم اردیبهشت 1391ساعت 15:3  توسط کوثرپرداز  | 

كريستال‌هايي با نسبت‌هاي طلايي

  • نگاهي به پژوهش‌هاي «دانيل شختمن» برنده نوبل شيمي 2011
  • كريستال‌هايي با نسبت‌هاي طلايي
  • علم (20) / ترجمه: فرانك مجيدي

  • در اولين ساعات بعدازظهر پنجم اكتبر سال 2011 به ‌وقت ايران، جايزه ارزشمند نوبل شيمي به «دانيل شختمن» (Daniel Shechtman) اهدا شد. اتم‌هاي مدل كريستال او، تقارني نامتعارف را نشان مي‌دادند. ساختار كريستال‌هاي او همان‌قدر نامعمول است كه ساخت يك توپ فوتبال با صرفا تكه‌هاي شش‌ضلعي، دور از ذهن به نظر مي‌آيد. (توپ فوتبال كره‌اي است كه آن را از تكه‌هاي پنج‌ضلعي و شش ضلعي مي‌سازند.)
    صبح روز هشتم آوريل 1982 ميلادي بود كه «شختمن» به اين ساختار رسيد. اول خودش هم متحير مانده ‌بود! او روي تركيبي از آلومينيوم و منگنز كار مي‌كرد و آنچه در بررسي با ميكروسكوپ الكتروني مشاهده كرد، حلقه‌هايي هم‌مركز شامل 10 نقطه درخشان بود كه فواصلي يكسان از هم داشتند. «شختمن» تركيبش را سريع خنك كرده بود و گمان كرد همين كاهش ناگهاني دماي سبب ايجاد چنين الگويي شده است، اما ماجرا اين نبود! خب، چهار تا شش اتم در حلقه‌ها چيزي عادي بود، اما 10 اتم؟! اين ديگر بر خلاف روال طبيعت بود! نتايج پراش نشان مي‌داد كه اتم‌ها در ساختار كريستالي متعارفي آرايش يافته‌اند، تنها نكته‌ غيرعادي، همان ماجراي 10 نقطه درخشان بود كه ناممكن بودنش در كريستالوگرافي اين‌قدر واضح بود كه اصلا نيازي به اثبات شواهدي براي ردش وجود نداشت. اتم‌هاي يك كريستال، بسته به خواص شيميايي‌شان در الگوهايي تكرارپذير آرايش مي‌يابند. يك مثلث متساوي‌الاضلاع را در نظر بگيريد، با چرخش 120درجه‌اي حول مركز مثلث، باز به همان ساختار مي‌رسيد، انگار چرخشي رخ نداده است. اين همان «تقارن» است، يعني بررسي تغييراتي روي سيستم كه آن ‌را به وضعيتي مشابه و غيرقابل تميز از شرايط اوليه‌اش برساند. الگوهاي تكرارشونده را در اشكال هندسي ساده‌اي مي‌توان متصور شد. با اين‌حال، رسيدن به كريستالي پنج‌گوش ناممكن به‌نظر مي‌رسيد، زيرا فاصله اتم‌هاي مجاور، كوتاه‌تر از حالت معمول بود و الگوي تكرارپذيري قابل‌حصول نبود. الگوهاي هفت‌گوش و تقارن‌هاي بالاتر نيز وضعيتي مشابه داشتند.
    حالا «شختمن» با الگويي 10 گوش روبه‏رو بود كه با تنها چرخش 36 درجه‌اي، شكل به همان وضع اوليه مي‌رسيد. چنين ساختاري تا آن ‌زمان مشابهي نداشت. مشاهدات او عجيب‌تر هم مي‌شد. خود كريستال بررسي‌شده، برخلاف آنچه كه نتايج پراش نشان مي‌داد، تقارن 10 ‌گوش نداشت، بلكه تقارن غيرعادي پنج‌گوش را به نمايش مي‌گذاشت.
    اولين بازخوردهاي انتشار نتايج كار «شختمن»، مخالفت با او و به سخره گرفتنش بود. رييس مركز، به او يك كتاب كريستالوگرافي داد و پيشنهاد كرد حتما آن ‌را بخواند! همكارانش كم‌كم وقتي اصرار «شختمن» را ديدند، از اين دور هم خنديدن به او خسته شدند و تصميم گرفتند او را از گروه‌ تحقيقاتي‌شان اخراج كنند. «شختمن»، جدا از گروه اوليه، روي يافته‌هاي خود كار كرد و بر صحت نتايج كارش اصرار كرد. او مقاله‌اي براي «Journal of applied Physics» فرستاد. طبعا سردبير نشريه آن را فورا براي «شختمن» بازپس فرستاد. «شختمن» از يك دوست دانشمند به ‌نام «جان كان» كمك خواست تا نتايج كارش را بررسي كند. «كان» به كمك يك بلورشناس فرانسوي به نام «دنيس گراتيا»، نتايج «شختمن» را ابتدا با ترديد از اشتباه «شختمن» بررسي كرد، اما وقتي ديد نتايج كار او قابل‌اعتماد است، متعجب شد. بالاخره در نوامبر سال 1984، «شختمن» نتايج تحقيقاتش را به ‌همراه «كان» و «گراتيا» در مجله «Physical Review Letters» منتشر كرد. اين مقاله جنجال و سر و صداي زيادي بين دانشمندان به‌راه انداخت. اين جسارت «شختمن» باعث شد دانشمندان ديگري هم در عرصه كريستالوگرافي شجاعت انتشار تحقيقات‌شان را بيابند و به‌زودي اخباري مبني بر يافت تقارن‌هاي هشت‌گوش و 12 ‌گوش منتشر شد.
    به هر حال، «شختمن» بايد تعريف مي‌كرد كه كريستالش در چه ساختاري متبلور شده است. بر اساس شواهد، تقارن پنج‌گوش بود، اما آرايش اتم‌ها در اين ساختار چگونه بود؟ اينجا ديگر رياضيدان‌ها بايد به كمك «شختمن» مي‌آمدند. تعدادي از رياضيدانان در طول دهه 1960 روي ساختارهاي آپريوديك (بي‌تقارن) كار مي‌كردند. ساختارهاي آپريوديك، ساختارهايي هستند كه اجزايش بر اساس الگوي مشخصي تكرار نمي‌شوند. يكي از مفيدترين پژوهش‌ها را در اين زمينه، يك رياضيدان بريتانيايي به‌ نام «راجر پن‌رز» در دهه 70 انجام داد. با الگوي «پن‌رز» در توضيح ساختارهاي آپريوديك، هنر كاشي‌كاري اسلامي در قرن هفتم هجري هم قابل بحث و بررسي بود. «آلن مكي» بلورشناسي بود كه تعريف «پن‌رز» را روي ساختارهاي كريستال مورد برسي قرار داد. او مي‏خواست ببيند آيا اتم‌هايي كه قالب سازنده ‌مواد بودند، مي‌توانستند الگوي اين ساختارهاي آپريوديك را رعايت كنند و كدام تقارن احتمال اين نمايش رفتار را دارد؟ بررسي‌هاي او به تقارن 10 گوش رسيد، همان 10 نقطه درخشاني كه «شختمن» مشاهده كرده ‌بود. پيش از آنكه مجله «Physical Review Letters» ريسك كند و مطلب جنجالي «شختمن» را به چاپ برساند، آن را براي چند دانشمند ديگر فرستاده ‌بود تا نظرشان را درباره مطلب بگويند. يكي از دانشمنداني كه مطلب «شختمن» را مطالعه كرد، «پل اشتاين‌هارت» بود كه پيشتر هم با مدل «مكي» آشنا بود. او بلافاصله دريافت كه مدل تئوري تقارن ده‌گوش «مكي» در دنياي واقعي با ادعاي «شختمن» مصداق يافته ‌است. پنج هفته پس از انتشار مقاله «شختمن»، «اشتاين‌هارت» و همكارش «داو لواين» مقاله‌اي درباره شبه‌كريستال‌ها و الگوي آپريوديك آنها منتشر كردند.
    از خصوصيات جالب‌توجه شبه‌كريستال‌ها و ساختارهاي اپريوديك، رعايت نسبت رياضي τ (تاو) در هر دو آنها بود. در ساختار «پن‌رز»، نسبت لوزي‌هاي درشت به باريك برابر τ بود، درست مثل شبه‌كريستال‌ها كه نسبت فواصل مختلف اتم‌ها در آن با اين ضريب رابطه داشت. اين ثابت رياضي را مي‌توان با دنباله معروف فيبوناچي تفسير كرد. در دنباله فيبوناچي اگر يكي از اعداد اين دنباله را بر عدد قبلي تقسيم كنيم، به مقداري نزديك به نسبت طلايي دست مي‌يابيم.
    پيشتر، شيميدان‌ها ترتيب در كريستال‌ها را به ‌صورت الگوهايي دوره‌اي و تكرارپذير توصيف مي‌كردند. با اين‌همه، دنباله فيبوناچي هم كامل است، هرچند كه به‌دليل تبعيتش از قواعد رياضي، هرگز خود را تكرار نمي‌كند. فواصل درون‌اتمي در يك شبه‌كريستال با دنباله فيبوناچي مرتبط است، اتم‌ها با الگويي مشخص آرايش يافته‌اند و شيميدان‌ها مي‌توانند پيش‌بيني كنند كه درون يك شبه‌كريستال چه ساختاري حاكم است. با اين حال، اين قاعده مشابه زماني‌كه يك كريستال پريوديك باشد، نيست.
    اين يافته در سال 1992، در مجمع جهاني كريستالوگرافي تعريف «كريستال» را تغيير داد. تعريف پيشين چنين بود: «كريستال ماده‌اي شامل اتم‌ها، مولكول‌ها يا يون‌ها است كه در ساختاري منظم، فشرده شده‌اند و الگويي سه‌بعدي را تكرار مي‌كنند. » با اين وصف، كريستال‌ها بي‌نهايت بودند و اندازه‌ سلول‌ واحد در قياس با كريستال فيزيكي به چند صد برابر مي‌رسيد. كريستال‌هاي واقعي نه‌تنها بي‌پايان نيستند، بلكه نقص‌هايي دارند و مرزهاي ميان كريستالي يا آمورفي‌بودن با روش‌هاي اندازه‌گيري قابل توصيف است. پس تعريف تازه چنين شد: «هر جامدي كه اساسا دياگرام‌افتراقي ناهمبسته داشته ‌باشد. » اين تعريف، باعث گسترده‌تر شدن ديد نسبت به كريستال مي‌شد و راه را براي كشف انواع ديگري از كريستال باز مي‌گذاشت.
    پس از ماجراهاي سال 1982، شبه‌كريستال‌هاي زيادي در آزمايشگاه‌هاي سراسر جهان سنتز شدند. دست‌يافتن به يك شبه‌كريستال پايدار اهميت ويژه‌اي داشت و سنتز اولين نوع پايدار آن، در سال 1987 در سيستم سه‌تايي Fe- Cu- Al انجام شد. شبه‌كريستال‌هاي محوري ساخته‌شده، تا يك سال پايدار ماندند. از ديگر كشف‌هاي مهم در زمينه شبه‌كريستال‌ها، دست‌يافتن به سيستم دوتايي پايدار Ca- Cd و Yb- Cd در سال 2000 بود. از آنجا كه سيستم دوتايي كمترين نقص را داراست، براي توصيف نمونه‌هاي باكيفيت استفاده‌شده در اجزاي ساختاري شبه‌كريستال‌هاي 20‌وجهي مورد توجه واقع‌ شد. در سال 2009، دانشمندان نخستين شبه‌كريستال موجود در طبيعت را كشف كردند. اين ماده معدني يافت‌شده، شامل آلومينيوم، مس و آهن بود و الگوي افتراقي تقارن 10 گوش را نشان مي‌داد. به اين يافته‌تازه، نام «بيست‌وجهي» دادند كه طبعا آن نسبت طلايي گفته‌شده، در اين نمونه حقيقي هم صادق بود.
    شبه‌كريستال‌ها در بادوام‌ترين انواع فلزات هم يافت شدند. اين نوع فلزات، در ساخت تيغ‌هاي ريش‌تراشي و سوزن‌هاي نازك مخصوص جراحي چشم كاربرد دارند. شبه‌كريستال‌ها با وجود سختي، خاصيت شكنندگي هم دارند، اصلا هدايت‌گرهاي مناسبي براي گرما و الكتريسيته محسوب نمي‌شوند و سطوحي بدون برآمدگي دارند. همين هدايت گرمايي كم آنها، باعث شده است، اين مواد براي استفاده در مواد ترموالكتريك مناسب باشند كه براي مصرف دوباره گرماي هدررفته مناسب‌‏اند. امروزه شبه‌كريستال‌ها براي پوشش سطح تابه‌هاي مخصوص سرخ‌‌كردن و سطوح LED و عايق‌بندي گرمايي موتورها كاربرد يافته‌اند.
    بي‌شك ماجراي «دان شختمن» بسيار جذاب است. دانشمندان زيادي در طول تاريخ بوده‏اند كه «حقيقت» پذيرفته‌شده را به چالش كشيده‌اند. مثلا همين شبه‌كريستال‌هاي «شختمن»، تفاسير «لينوس پائولينگ» را به نقد مي‌كشيد. خب، يافته‌هاي بزرگ‌ترين دانشمندان هم از اينكه روزي نقض شوند، در امان نيستند! آنچه باعث مي‌شود به احترام «دان شختمن» بايستيم، ذهن باز او و جسارتش در مورد سوال قرار دادن پايه‌اي‌ترين بخش‌هاي علم كريستالوگرافي است.
    www. nobelprize. org
+ نوشته شده در  جمعه یکم اردیبهشت 1391ساعت 15:1  توسط کوثرپرداز  | 

تناسب طلایی و کاربرد های آن

http://www.hifi.ir/wp-content/uploads/2012/03/lestnica.jpg


عنوان : دنباله فیبوناچی و عدد طلایی

منبع : سایت ملاصدرا - (Φ)

لئوناردو فیبوناچی ایتالیایی حدود سال 1200 میلادی مساله ای طرح کرد : فرض کنید که یک جفت خرگوش نر و ماده در پایان هر ماه یک جفت خرگوش نر و ماده جدید بدنیا بیاورند ... اگر هیچ خرگوشی از بین نرود , در پایان یک سال چند جفت خرگوش وجود دارد؟؟؟

فیبوناچی تصمیم گرفت برای محاسبه تعداد آنها Fn  را تعداد جفتها در شروع ماه N ام فرض کند.
پس
F1 =1 و F2 =2 خواهد بود ... چون در شروع ماه اول فقط یک جفت اصلی وجود دارد...اما با شروع ماه دوم جفت اول جفت دوم را درست میکند.
سپس او متوجه شد که با شروع ماه
N ام جفتها به دو گروه تقسیم میشوند: Fn-1 تعداد جفتهای قدیمی و تعداد جفتهای جدید پس از N-1 ماه است .چون جفت جدید پس از یک ماه تولید میشود و بعد از یک ماه دیگر اولین جفت خود را تولید میکند ... تعداد جفتهای جدید برابر تعداد جفتهای دو ماه قبل است که با Fn-1
نشان داده میشود .
پس :

Fn= Fn-1 + Fn-2

با استفاده از این فورمول و مقادیر اولیه  F1 =1 و F2 =2 میتوان تعداد جفتها را پس از یک سال بدست اورد و نوشت F12=233 .
سری اعداد
Fn
را دنباله فیبوناچی مینامند. با یک توافق عمومی مقادیر اولیه از 1 و 1 بجای 1و 2 شروع میشود (بطوری که جمله های دنباله بصورت زیر نوشته میشوند)

... ,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233

حالا اگر در این دنباله هر عدد را به عدد قبلیش تقسیم کنیم یک همچین سری را خواهیم داشت:

1/1 = 1,   2/1 = 2,   3/2 = 1·5,   5/3 = 1·666...   8/5 = 1·6,   13/8 = 1·625,   21/13 = 1·61538  و ...

که هرچه جلو بریم بنظر می آید که به یک عدد مخصوص میرسیم . برای بهتر دیدن موضوع به نمودار زیر توجه کنید:

ما این عدد را عدد طلایی مینامیم که این عدد تقریبا برابر است با :      ... 1.618033  

به عبارتی دیگر حد این دنباله به عدد طلایی میرسد:

 سری فیبوناچی در طبیعت:

حالا میام و به این دنباله به صورت دیگری نگاه میکنیم : اگر ما دو مربع به ضلع یک در کنار هم بگزاریم و در بالا اندو یک مربع با ضلع 2 بگزاریم و همین طوری تا اخر ...  ما شکلی خواهیم داشت مثل شکل پایین :

این مستطیل به مستطیل فیبوناچی معروف است.حالا اگر نقاطی از این شکل را به هم وصل کنیم به شکل زیر میرسیم :

که شبیه این شکل را میتوان در طبیعت و در شکل زیر دید:

از دیگر مثالهای این دنباله در طبیعت میتوان به دانه های گل آفتابگردن یا به تعداد گلبرگ بعضی گلها اشاره کرد .

فیبوناچی و کاربرد آن


بعدها محاسبات و استدلال های ریاضی نشان داد که این سری همگرا به سمت نسبت طلایی می باشد و جمله عمومی آنرا با بتقریب می توان اینگونه نمایش داد :

fn = Phi n / ۵½

که در آن Phi عدد طلایی میباشد. البته فرمول های دقیق دیگری وجود دارند که اعداد سری و یا اعداد بعدی (Successor) این سری را نمایش می دهند که دراین مطلب به آن نخواهیم پرداخت.

              معمای زاد و ولد خرگوش!

در واقع فیبوناچی در سال ۱۲۰۲ به مسئله عجیبی علاقمند شد. او می خواست بداند اگر یک جفت خرگوش نر و ماده داشته باشد و رفتاری برای زاد و ولد آنها تعریف کند در نهایت نتیجه چگونه خواهد شد. فرضیات اینگونه بود :

- شما یک جفت خرگوش نر و ماده دارید که همین الآن بدنیا آمده اند.
- خرگوشها پس از یک ماه بالغ می شوند.
- دوران بارداری خرگوشها یک ماه است.
- هنگامی که خرگوش ماده به سن بلوغ می رسد حتما” باردار می شود.
- در هر بار بارداری خرگوش ماده یک خرگوش نر و یک ماده بدنیا می آورد.
- خرگوش ها هرگز نمی میرند.

حال سئوال اینجاست که پس از گذشت یکسال چه تعداد خرگوش نر و چه تعداد خرگوش ماده خواهیم داشت؟ (پاسخ را شما بدهید)

 :Fibonacci
مارپیچ فیبوناچی
به شکل اول نگاه کنید و ببینید که به چه زیبایی از کنار هم قرار دادن تعدادی مربع می توان رشته فیبو ناچی را بصورت هندسی نمایش داد. حال اگر در هر یک از این مربع ها از نقاط قرمز ربع دایره هایی رسم کنیم در نهایب به نوعی از مارپیچ حلزونی شکل می رسیم که به مارپیچ فیبوناچی (Fibonacci Spiral) معروف می باشد. بدیهی است که نرخ رشد و باز شدن این مارپیچ متناسب با نرخ بزرگ شدن اعداد در سری فیبوناچی می باشد.

اهرام مصر یکی از قدیمیترین ساخته های بشری است که در ان هندسه و ریاضیات به کار رفته است. مجموعه اهرام Giza در مصر که قدمت انها به بیش از 2500 سال پیش از میلاد می رسد یکی از شاهکارهای بشری است که در ان نسبت طلایی به کار
رفته است.
درشکل بالا بزرگ ترین هرم از مجموعه اهرام
Giza خیلی ساده کشیده شده است.مثلث قایم الزاویه که با نسبت های این هرم شکل گرفته شده باشد به مثلث قایم مصری یا Egyptian Tria معروف است.
جالب اینجاست که نسبت وتربه ضلع هم کف هرم معادل با نسبت طلایی یعنی دقیقا1.61804 می باشد.این نسبت باعدد طلایی تنها در رقم پنجم اعشار اختلاف داردیعنی چیزی در حدود یک هزارم.
اگر معادله ی فیثاغورث را برای این مثلث قایم الزاویه بنویسیم به معادله ای مانند
phi ²= phi+b² خواهیم رسیدکه حاصل جواب ان همان عدد معروف طلایی خواهد بود.(معمولا عدد طلایی را باphi نمایش میدهند.(
طول وتر برای هرم واقعی حدود356 متر طول ضلع مربع قاعده حدود 440 متر می باشد.بنا بر این نسبت356 به220 (معادل نیم ضلع مربع)برابرباعدد1.618 خواهد شد.
کپلر ستاره شناس معروف نیز علاقه ی بسیاریبه نسبت طلایی داشت.به گونه ای که در یکی از کتاب های خود نوشته است:»هندسه دارای دو گنج بسیار بزرگ است که یکی از انها قضیه ی فیثاغورث ودیگری رابطه تقسیم یک پاره خط با نسبت طلایی می باشداولین
گنج را می توا ن به طلا دومی را به جواهر تشبیه کرد.«. تحقیقاتی که او راجع به مثلثی که اضلاع ان به نسبت اضلاع مثلث مصری باشد به حدی بود که امروزه این مثلث به مثلث کپلر نیز معروف است.
جالب این جاست که چند قرن پیش ریاضی دانی مشهور به نام فیبو ناتچی ودرسال1202 درکتاب خود به نام لیبر اباچی چنین مسا له ای را طرح کرد که اگر یک جفت خرگوش هر ماه یک جفت بچه تولید کنند بچه های انها نیز این عمل را انجام دهند وهیچ یک از انها از دنیا نرود،در هر ماه چند جفت خر گوش تولید خوا هد شد؟! البته خر گوش ها تا دو ما هگی قا دربه تولید مثل نیستند .

 

 

 

ماده

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

جفت های

خر گوش

1

1

2

3

5

8

13

21

34

55

89

144

 

 



جدول بالانشان می دهد که یک جفت خر گوش در طول سال به چه تعدادی افزایش می یابند،ردیف پایینی اعداد این جدول،دنباله ی
فیبو ناتچی نامیده می شود.
با بررسی اعداد این مجموعه درمی یابید که هر عددبرابر با حاصل جمع دو عدد ما قبل است.هم چنین اعداد ردیف 3
٫6٫9٫12 زوج هستند.البته در عمل تعداد خرگوش ها به همین صورت افزایش نخواهد یافت .اما این دنباله دراکثر موارد در طبیعت وبه خصوص در گیاهان واقعیت می یا بد.
برای نمونه اگر به درخت کاج دقت کنیم خواهیم دید که میوه ی این درخت به ازای هر هشت ردیفی که به شکل مارپیچ ودر جهت عقربه های ساعت قرارگرفته اند سیزده ردیف مارپیچی ودرخلاف جهت عقربه های ساعت دارند.
اگر هر یک از اعداد مجموعه فیبوناتچی رابر عددقبل از ان تقسیم کنیم،مجموعه ای ازاعداد کسری حاصل می شود خارج قسمت اعشاری این کسرها عبارتند از2
٫ 1.5 1.66 ٫
...که اگر همین عمل را تا به اخر ادامه دهیم به تدریج به عدد 1.6183 نزدیک خواهیم شد.این عدد همان نسبت طلایی است .
جالب این است که مدتها قبل از فیبو ناتچی یونانی ها نیز به ان دسترسی داشتند.

مستطیل طلایی
مستطیلی است نسبت طول به عرضش برابر با عدد طلایی است. یعنی مستطیلی که طول ان تقریبا 1.62 وعرض ان1 باشد. مستطیل های طلایی همیشه زیباتر مستطیل های دیگراست.
من تعدادی مستطیل با ابعاد متفاوت از کاغذ ها مقوا های رنگی درست کردم ودرکلاس از دوستانم خواستم تا مستطیلی راکه به نظر انها زیبا تر است راانتخاب کنند؛مشاهده کردم که اکثر دانش اموزان مستطیل طلایی را انتخاب کردند یعنی مستطیلی باابعاد 1.62 و1.
بسیاری از هنرمندان به صورت غریزی از نسبت طلایی استفاده می کنند یو نانی ها نیز اشکال طرح هایی را مبنی بر همین نسبت طراحی کرده وساخته اند.
برای نمونه بنای پارتنون درمیدان اکروپلیس واقع درشهر اتن که در قرن پنجم قبل از میلاد وبه دست یونانیان باستان سا خته شده از نسبت های طلایی پیروی می کند.
در دوره رنسانس نیز این نسبت به کار رفته حتی لئو ناردواوینچی دانش مند ونقاش بزرگ تصو یری را که به احتمال زیاد تصویر خودش باشد،کشید که دران از تعداد زیادی مستطیل طلایی به کاربرد.
مستطیل های طلایی در بسیاری از نقاشی هاومجسمه ها بناهای معروف به کار رفته است .بعضی از موسیقی دان ها نیز امکان به کار گیری مجموعه ی فیبوناتچی را بررسی کرده اند .
اهنگ ساز لهستانی به نام بلابارتوک درخلق یک قطعه
ٔ هنری به نتیجه ی جالبی رسید.او ازاعداداین مجموعه طوری استفاده کرد
که هر شنونده ای به سادگی در خوا هد یافت که ساز های مختلف یکی پس از دیگری با همان اهنگ نواخته می شوندو موسیقی رابه اوج خود می رسانند.
موسیقی دان ها با بررسی این موسیقی دریا فتند که نقطه یاوج اهنگ دقیقا در همان نسبت طلایی به گوش می رسدوهم چنین هر مدخل اهنگ نیز به تبعیت از اعداد مجموعه ی فیبوناتچی درقسمت مشخصی رخ می دهد.
ریاضی دانان نیز مانند هنرمندان به بررسی عددطلایی پرداخته اند. درواقع عدد طلایی را به این ترتیب نیز می توان تعریف کرد:
چون تعداد رادیکال ها بی شمار است پس:
پس
g.g=1+g هم چنین:g.g-g-1=0

بنا بر این مقدار تقریبی
g برابر است با 1.61803واین همان عددی است که در تقسیم عدد طلایی بدست اوردیم.
عدد طلایی را به صورت زیر نیز می توان تعریف کرد:
زیرا می توان نوشت:
وهم چنین اگر این معادله را حل کنیم همان عددطلایی بدست می اید.
خصوصیات عدد طلایی
دیدید که
g.g=1+g دو طرف تساوی را درg ضرب می کنیم سپس مقدار g.gرا قرار می دهیم( از رابطه ی1) دوباره همین عمل را تکرار می کنیم.از این طریق می توان فرمو لی برای g به توان n
نوشت.
کار برد نسبت طلایی در طبیعت
در طبیعت می توان مثال هایی یافت که دران نسبت طلایی به کار رفته باشد.در ساختمان دانه ی برف وپروانه ها وصدف ها وبسیاری از چیز های دیگر از نسبت طلایی استفاده شده است.

شرح رسم مستطیل طلایی
مربع
ABCD را با ضلع دلخواه رسم کنید.وسط ضلع DC رابیا بید وM بنامید.به مرکز Mوبا شعاعMB کمانی بزنید تا امتدادDCراقطع کند وان راN بنامید.ازان نقطه خطی عمود برDCرسم کنید تاامتداد ABراقطع کندو انراQ بنامید.
چهارضلعی
AQNDوBQNC مستطیل طلایی هستند.

 

عدد طلایی
قبلا در مورد چگونگی بدست آوردن عدد طلایی از طریق دنباله
 فیبوناچی صحبت شد.حالا در مورد راههای دیگر بدست آوردن این عدد صحبت میکنیم ... 

در زمانهای قدیم هنرمندان یونانی به خوبی ریاضی دانان مستطیل زیبایی می شناختند که از نظر هنری عرض 1 و طول X داشت در این مستطیل هر وقت مربعی به ضلع 1 را از آن جدا کنند باز همان مستطیل با همان نسبتهای مستطیل اصلی باقی میماند .
چون مستطیل جدید عرض 1-
X و طول 1 دارد و چون نسبت ضعلهای دو مستطیل با هم برابر است :

حالا اگر در معادله ی بالا برای X حل کنیم ریشه ی مثبت معادله همان عدد طلایی است:

در دنیای ریاضی این عدد را با نشانه یونانی    (خوانده میشود فی ) نمایش میدهند ...

استفاده های این عدد:

هرم " ریم پاپیروس " در اهرام ثلاثه یکی از قدیمی ترین مثالها از استفاده از این عدد در ساخت بناهاست ...
اگر عرض
 یکی از شالهای این هرم را بر فاصله نوک هرم تا نقطه وسط کف هرم تقسیم کنیم جواب 1.6 خواهد بود ...


باستان شناسان مطمئن نیستند که ایا این کار
 از قصد انجام شده یا اتفاقی بوده است !
مطلب جالب دیگر این است که اگر قطر این هرم را به دوبرابر ارتفاع ان تقسیم کنیم جواب عدد پی (3.14) خواهد بود .
  

مثال دیگر در بنای پارتنون در یونان وجود دارد .برای ساخت این بنا که در 440 BC ساخته شده است از مستطیل طلایی استفاده شده است:

در شکل زیر نقشه این بنا را میتوانید ببینید ... امتحان کنید ببینید وقتی طول هر کدام از مستطیلهای در شکل را به عرض ان تقسیم میکنید عدد طلایی بدست می آید؟؟؟

چگونگی کشیدن یک مستطیل طلایی:

برای کشیدن یک مستطیل طلایی ابتدا بک مربع با ضلع دلخواه کشیده سپس طبق شکل زیر وسط ضلع پایین این مربع را پیدا کنید.بعد
 از این با یک پرگار یک قوس با شعاعی به اندازه وسط مربع تا گوشه سمت راست بکشید تا طول مستطیل معلوم شود.

 

از استفاده های دیگر این عدد :
- هر گاه شما طول صورت فردی را به عرض ان تقسیم کنید هر چقدر این عدد به عدد طلایی نزدیکتر باشد ان فرد باهوشتر است.(این ثابت نشده است ... )

- طول هرسه بند انگشت یکی از انگشتان خود را به دلخواه اندازه بگیرید. اندازه بند بالایی را به وسطی تقسیم کنید. عددی در حدود 1.6 خواهد بود نه ؟!حال همان عمل بالا (تعیین نسبت) را در مورد بند وسط به بند کوچک انجام دهید. جواب ؟

- از طریق این عدد متوان مقدار پی را تا دو رقم اعشار دقیق بدست آورد


ادامه مطلب
+ نوشته شده در  جمعه یکم اردیبهشت 1391ساعت 14:59  توسط کوثرپرداز  | 

چهره زیبا یعنی چه چهره‌ای؟


ziba چهره زیبا یعنی چه چهره‌ای؟

در طب امروز توجه به اهمیت سلامت روانی افراد به آن پایه رسیده که بسیاری از افراد نه به خاطر شکستگی و نه به خاطر عفونت بلکه به خاطر اصلاح وضع ظاهری خود تحت عمل جراحی قرار می‌گیرند.

افلاطون معتقد بود که زیبایی نوعی هماهنگی، تناسب و تعادل بین اجزای یک پدیده با کل آن است که به وسیله انسان شهود می‌شود. در طب امروز توجه به اهمیت سلامت روانی افراد به آن پایه رسیده که بسیاری از افراد نه به خاطر شکستگی و نه به خاطر عفونت بلکه به خاطر اصلاح وضع ظاهری خود تحت عمل جراحی قرار می‌گیرند….

پروفسور کانگ لی از دانشگاه تورنتو بیان کرد که ما دریافتیم اجزای متفاوت در صورت می‌تواند چهره یک زن را جذاب‌تر ‌کند. پاسخ به این سوال که برای رسیدن به تناسب و زیبایی در چهره یک بیمار چه تغییراتی باید در چهره ایجاد شود، مطلبی است که در طول تکامل علم زیبایی همواره مورد مجادلات فراوان بوده است. طبق گفته هنرمندان دوره رنسانس در یک صورت متناسب ثلث‌های صورت باید از نظر ارتفاع مساوی باشند. در یک مطالعه برای بررسی چهره فرد ۴ اندازه‌گیری انجام می‌شود: عرض چشمان، عرض پل بینی، عرض دهان هنگام لبخند کامل و عرض دندان‌هایی که می‌توان هنگام لبخند فرد مشاهده کرد. برای دستیابی به این اندازه‌گیری‌ها، باید عکسی از چهره در نمای روبه‌رو طوری گرفته شود که شما کاملا خندیده باشید سپس نسبت عرض پل بینی و نسبت عرض دهان اندازه‌گیری و محاسبه می‌شود.

یونانیان باستان با اندازه‌گیری متناسب بدن، صورت و سایر اعضای موجودات زنده را انجام داده‌اند. آنها در این محاسبات به نسبت‌های یکسانی دست پیدا کردند و آن را نسبت طلایی نامیدند و حتی یونانیان باستان از این نسبت در ساخت ابنیه تاریخی مهم خود استفاده کردند؛ از جمله بنای پارتنون در آتن. نسبت طلایی در ارتباط با یک صورت متناسب اطلاعاتی به ما می‌دهد. در مورد افراد مشهور مانند خواننده‌ها، ستارگان سینما و ورزش اندازه‌گیری به یک صورت متناسب نزدیک‌تر است. به‌طور کلی این یک باور و دانش عمومی است که افرادی که صورت قرینه و متناسبی دارند، جذاب‌تر به نظر می‌رسند.

البته تعیین صورت زیبا براساس تفاوت‌های فردی بسیار مشکل است. اگر چه دانشمندان نسبت ریاضی ساده ۶۱۸/۱:۱ را مطرح کرده‌اند البته نسبت‌های مهم دیگری از جمله phi هم برای تعیین استانداردهای زیبایی مطرح شده است. براساس این فرمول اگر عرض صورت از یک گونه تا گونه دیگر ۱۰ اینچ یا ۲۵ سانتی‌متر باشد، طول صورت از بالای سر تا زیر چانه ۱۸/۱۶ اینچ باشد، نسبت ایده‌آل باشد. نسبت phi با اندازه‌گیری عرض دهان به عرض گونه‌ها و عرض بینی به عرض گونه‌ها و عرض بینی به عرض دهان مشخص می‌شود. در شکل زیر، نقطه c خط AB را تقسیم می‌کند به نسبت‌های AC به BC و این نسبت معادل نسبت AB به AC است.

نقطه C خط AB را مطابق با نسبت طلایی، تقسیم‌بندی می‌کند. بعضی از مطالعات جبری نشان می‌دهد که در این نمونه نسبت AC به CB معادل عدد ۶۱۸/۱ است. جالب است بدانید در محیط پیرامون ما نیز این نسبت‌ها با این ظرافت قابل مشاهده است از جمله از نوع کریستال‌های طبیعی در محیط شاخه‌های گیاهان، رودخانه و انشعابات آن، ساختمان DNA و…

دانشمندان با بررسی بازیگران مشهوری مانند جسیکا آلبا، لیز هارلی و شاینا توان به فرمول خارق‌العاده آنها پی بردند. آنها همچنین دریافتند که آنجلینا جولی با کرایتریای زیبایی بازیگران نام‌برده مطابقت ندارد. در ۴ مطالعه تجربی محققان آمریکایی و کانادایی از دانش‌آموزان خواستند که عکس رنگی صورت دو خانم را با هم مقایسه کنند. در یک عکس فاصله عمومی بین چشم‌ها و دهان و همچنین فاصله افقی بین چشم‌های هر زن دستکاری شده بود. در عکس دیگر، چشم‌ها، دهان، بینی خطوط دور صورت و خط مو بدون تغییر مانده بود. سپس از شرکت‌کنندگان خواسته شد که صورت جذاب‌تر را انتخاب کنند. در هر ۴ مطالعه، شرکت‌کنندگان عکسی را انتخاب کردند که محققان نسبت طلایی را در آن گنجانده بودند. صورت خانم‌هایی جذاب‌تر بود که فاصله بین ۲ مردمک چشم زیر ۵۰ درصد یا ۴۶ درصد عرض صورت از یک گوش تا گوش دیگر بود.
محاسبه عالی دیگر فاصله بین چشمان و دهان که بیش از ۳/۱ یا ۳۶ درصد طول کلی صورت از خطر رویش مو تا چانه بود. دانشمندان نسبت ۳۶/۴۶ درصد را یک صورت متناسب نامیدند. ولی پروفسور لی بیان کرد که تغییر در فرم کوتاه کردن مو یک راه مناسب برای دستکاری کردن این نسبت است. آنجلینا جولی بازیگر مشهور هالیوود طول و عرض طلایی را ندارد. الیزابت هارلی طول طلایی را دارد ولی عرض طلایی او با اختلاف ۱درصد متفاوت است. ولی خواننده مشهور کانادایی، شاینا توان هم طول و هم عرض طلایی را داشته است


ادامه مطلب
+ نوشته شده در  جمعه یکم اردیبهشت 1391ساعت 14:58  توسط کوثرپرداز  | 

+ نوشته شده در  جمعه یکم اردیبهشت 1391ساعت 4:32  توسط کوثرپرداز  | 

جستجوی نسبت طلایی در طبیعت


 
راز یک کندو

اگر حشره‌اي مي‌تواند با حل سريع و درست يك مسأله‌ي هندسي ما  را دچار شگفتی كند، مي‌توان آن چه ساكنين كندوهاي عسل ايجاد مي‌کنند  را، شـاه‌   كارهاي رياضـي ناميد. نبوغ رياضي زنبور عسل از زمان‌هاي باستان (سده‌ي چهارم قبل  از ميلاد)، بشر را به شگفتي واداشته است. 
  بياييد ساختمان شانه‌هاي كندو را بررسـي كنيم:
 اين شانه‌ها از يك رشته شـبكه‌هاي   مومي شش وجهي تشكيل شده‌اندكه در دو قشر چيده شده‌ و با كف‌هاي مشـتركي به   هم مربوطند. اين كف‌ها مسطح نيستند. هر كف شكستگي دارد و از 3 لوزي مســاوي  درست شده است. زاويه‌ي بزرگ لوزي دقيقاً ' 28 ْ109 و زاويه‌ي كوچك آن ' 32 ْ70   است. عمق شبكه 3/11 ميلي‌متر، عرض هر يك از 6 ديواره‌ي شبكه 71/2 ميلي‌متر، و  ضخامت آن مساوي ضخامت يك كاغذ نوشتني معمولي است.
بررسي اين مطلب جالب است كه چرا زنبور عســـل براي مقطع منشور مومي خود،  شكل شش گوش را انتخاب كرده است؟
 خوب است بدانيد از بين شــكل‌هاي هم مســاحت منتظمي كه مي‌توانند صفحه را بپوشانند (مثـلث، مربع و شـش ضلعي) محيط 6 ضــلعي منتظم از هـمه كم‌تر است!   (مي‌توانيد بررسي كنيد).
همچنين شــيوه‌ي قرار گرفتن اين 6 ضـــلعي‌ها در كنار هم باعث مي‌شود تا کندو  بيش‌ترين مقاومت را در برابر ضربه‌هاي احتمالي داشته باشد. 
علاوه بر آن چون زاويه‌ي شـش ضلعي منتظم بزرگ است، زنبور عســل مي‌تواند به  راحتي به همه‌ي نقاط لانه‌ي خود دسترسي داشته باشد. 
اگر باز هـم مي‌خواهيد شــگفت زده شـويد بايد بدانيد كه زنبور عســل حتي براي    ســاختن لوزي‌هاي انتهاي لانه هم، كم‌ترين موم را مـصرف مي‌كند. يـعني براي يك   حجم مفروض، كم‌ترين مساحت را ايجاد مي‌كنند. 
 بررسي اين موضوع، به وسيله‌ي حساب ديفرانسيل و محاسبات زياد هندسي صورت  مي‌گيرد. جالب اسـت بدانيد با مومـي كه از صرفه‌جـويي در ســاختمان 54 خانه بـه   دست مي‌آيد، مي‌توان يك خانه‌ي كامل ساخت.
  
كاربرد شگفت آور نسبت طلايي در دنياي گياهان
وضع قرار گرفتن برگ‌ها را روي يك ساقه مي‌بينيد. 
بين هر دو زوج برگ، سومي در جاي برش طلايي قرار گرفته است.
گياهاني را در نظر بگيريد كه برگ‌هاي آن‌ها در طول ساقه دقيقاً روي هم قرار نگرفته‌اند، يعني برگ‌هاي متوالي در امتداد قائم يك‌ديگر نيستند، بلكه شاخه را دور مي‌زنند (مثل گل آفتاب‌گردان). اگر نخي را از پايه‌ي يك برگ به پايه‌ي برگ دوم و از آنجا به پايه‌ي برگ سوم و ... ببنديم، مي‌بينيم كه نخ دور شاخه مي‌پيچد و يك مارپيچ درست مي‌كند.
در گياه‌شناسي وضعيت درخت را با نسبتي مشخص مي‌كنند كه صورتش تعداد دورهاي اين نخ و مخرجش تعداد فاصله‌هاي بين برگ‌ها در اين دور است. مثلاً اگر براي رسيدن از يك برگ به برگي كه درست روي آن قرار گرفته است، بايد 3 بار دور شاخه پيچيد، و به هشت فاصله برخورد كنيم، گوييم وضع استقرار برگ‌ها با كسر 8÷3 مشخص مي‌شود.
مي‌توان فهميد كه زاويه‌ي انحراف بين دو برگ مجاور هم، به وسيله‌ي اين كسر معلوم مي‌شود كه برابر است با 135=360* 8÷3 .
گياه‌شناسان در محاسبه‌هاي بسيار زياد خود، به اعداد زير براي وضع استقرار برگ‌ها برخورده‌اند:
...و 21÷8 و 13÷5 و 8÷3 و 5÷2 و 3÷1 و 2÷1
اين اعداد را حتماً مي‌شناسيد، (دنباله‌ي فيبوناتچي...... را به ياد آوريد) يعني وضع استقرار برگ‌ها، با نسبت طلايي بسيار مرتبط است.

  رياضی‌دان كوچك
 رياضي‌دان كوچكي كه طول او به زحمت به 3 ميلي‌متر مي‌رسد، به نام شپشك درخت توس، احتمالاً در يكي از دانشكده‌ها (كه لااقل از نظر مردمان دور مانده)، رياضيات را فراگرفته است! زيرا مي‌تواند چنان مسأله‌هايي را حل كند كه شايد حتي يكي از دانش‌آموزان هم حاضر نباشد سر خود را به خاطر آن‌ها به درد آورد. شپشك به وسيله‌ي خرطومش برگ درختان خلنگ، توسكا و راش را از وسط به دو طرف تا كنار برگ مي‌جود. سپس دو نيمه‌ي برگ را به هم مي‌پيچد و لوله‌اي درست مي كند و تخم‌هاي خود را در آن پنهان مي‌كند تا محفوظ باشند. منحني‌هايي كه اين شپشك برگ را طبق آن‌ها مي‌جود، خصوصيت عجيبي دارند. انگار شپشك براي رسم منحني دايره شكل، خط‌هايي را كه عمود بر كناره برگ  هستند تصور كرده، و منحني‌اي را مي‌كشد كه بر اين خط‌ها مماس باشد! حشره‌ي با استعداد براي نيمه‌ي دوم برگ زحمت زيادي ندارد. نيمه‌ي دوم را روي نيمه‌ي اول مي‌پيچاند و نيمه‌ي دوم برش خود را انجام مي‌دهد. ( براي حل چنين مسأله‌ی دشواري، كه نياز به شكل‌ها و محاسبه‌هاي بسياري دارد، شپشك تنها نيم ساعت وقت صرف مي‌كند! ) مي‌توانيد از وسيله‌اي كه در اختيار دارد براي رسم منحني شپشك استفاده كنيد. البته كار شپشك، عكس كار شماست. شما دايره را داريد، كناره‌ي برگ را مي كشيد. ولي او كناره‌ي برگ را دارد و دايره را مي‌كشد!

phi = 1+sqrt(5)

1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5,...

Ratio of successive Fibonacci terms.




The Pentagram.

The Pentagram.

The Parthenon in Athens.

The Parthenon in Athens.


+ نوشته شده در  پنجشنبه سی و یکم فروردین 1391ساعت 18:41  توسط کوثرپرداز  | 

پنج عدد که به گونه ای غیرمنتظره، بر زندگی ما تأثیر دارند!


اعداد، تقریباً بر تمام جنبه های زندگی ما تأثیر می گذارند، از حساب کردن دقیق پول غذا گرفته تا ریختن طرح یک صندوق بازنشستگی. البته اعداد، نقش های مهم تری نیز در جهان پیرامون ما ایفا می کنند، آن هم به گونه ای که ما اغلب متوجه نمی شویم. یک ثابت ریاضی، برداشت ما را از زیبایی تعیین می کند و یک عدد، بر تعداد دوستان ما تأثیر می گذارد. ریاضیات بر ژن های ما نگاشته شده است. در اینجا، تنها چند مورد از تأثیرات اعداد در زندگی را خواهید دید.

عدد دانبار (Dunbar’s Number)


بعضی جوامع در طول مدت زمان طولانی، بدون تغییر باقی می مانند، حال آن که برخی دیگر از قبایل یا حتی همجواری های جوامع مدرن، در اثر هرج و مرج و خشونت، از هم می پاشند. ما ظاهراً بدون هیچ دلیل مشخصی، رابطه ی خود را با برخی از دوستان و همکارانمان حفظ می کنیم اما از بقیه ی آن ها صرف نظر می کنیم. به نظر می رسد حتی شرکت ها هم بعد از استخدام تعداد مشخصی از افراد، در اداره کردن آن ها دچار مشکل می شوند. این موضوعات که در ابتدا بی ربط به نظر می رسند، همگی به یک عدد مربوط می شوند.

محققان معتقدند کارکرد اجتماعی انسان، حول عدد ۱۵۰ می گردد. دانشمندان با بررسی پستانداران نخستین پایه، به این نتیجه رسیدند که هرچه لایه ی نئوکورتکس مغز (neocortex) میمون ها بزرگتر باشد، گروه های اجتماعیشان نیز بزرگتر است. با محاسبه ی تحقیقات انجام شده بر ۳۸ دسته از میمون ها، پروفسور دانبار این چنین تخمین زد که توانایی انسان برای برقراری ارتباطات جمعی، در حدود عدد ۱۵۰، متوقف می شود. یعنی شما از لحاظ ذهنی می توانید از عهده ی ۱۵۰ رابطه بربیایید. هر بار ما در شرایطی قرار می گیریم که مجبورمی شویم با بیش از ۱۵۰ نفر دست و پنجه نرم کنیم، کارآیی مان کاهش پیدا می کند. برای مثال، اگر بخواهید یک مهمانی ترتیب بدهید و ۱۵۰ نفر را دعوت کنید، مشکلی پیش نمی آید؛ به راحتی همه را به خاطر می آورید و می دانید چه کساین دوست دارند کنار هم بنشینند و چه کسانی چشم دیدن هم را ندارند. اما اگر قرار باشد برای ۳۰۰ یا ۵۰۰ نفر مهمانی بگیرید، احتمال این که اسم مهمانان را فراموش کنید یا درباره ی جای نشستن آنان دچار سردرگمی شوید، بیشتر می شود.

نمونه های متعدد دیگری هم وجود دارد که نشان می دهد وقتی تعداد اعضای یک اجتماع، به بیش از ۱۵۰ نفر می رسد، افراد نسبت به هم بی اعتنا می شوند. برای مثال، وقتی جمعیت یک شهر کوچک، به بیش از ۱۵۰ خانوار می رسد، جرم و جنایت در آنجا به یک مشکل اساسی تبدیل می گردد. در طول تاریخ، یگان های ارتش، تقریباً همیشه از ۱۵۰ سرباز تشکیل شده اند، چرا که ظاهراً کنترل چنین یگانی آسان تر است و همبستگی بیشتری بین افراد وجود دارد. حتی سازمان هایی که تعداد کارکنان هر کدام از دفاترشان، ۱۵۰ نفر یا کمتر می باشد، نسبت به سازمان هایی که دفاتر آن ها پرجمعیت تر است، سودآوری بیشتری دارند.

نسبت طلایی (Golden Ratio)


این عدد، تنها ثابتی است که در سراسر گیتی، بیش از هر عدد دیگری کاربرد دارد. تنها انسان ها نیستند که از آن در مد، اسباب منزل، هنر، موسیقی، و حتی اقتصاد بهره می گیرند، بلکه در بدن انسان، طبیعت و حتی شکل راه شیری نیز این عدد وجود دارد.

نسبت طلایی که اولین بار توسط یونانی ها کشف شد، در تمام طبیعت یافت می شود و ذهن تمام انسان ها به گونه ای است که آن را زیبا می داند. کتاب های بسیاری درباره ی چگونگی کارکرد نسبت طلایی و این که چرا ریاضیات زیبایی، یک دانش عینی است، وجود دارد. اعضای چهره و بدن انسان سالم نیز، با توجه به نسبت طلایی، هماهنگی یافته اند.

این عدد از مجموعه ی مارپیچ های افزایشی به دست می آید که فاصله ی بین هر مارپیچ دقیقا ۱٫۶۱۸ برابر فاصله ی مارپیچ های بعدی باشد. به نظر می رسد این ثابت، به دلیل نامعلومی یک قانون جهانی است که همه چیز، از رگ برگ های گیاهان گرفته تا ساختار استخوان های ما، از آن پیروی می کنند.

رمز موفقیت


تحقیقات جدید می گویند استعداد لزوماً چیزی نیست که انسان با آن متولد شود. ملکوم گلدول معتقد است افرادی همچون بیل گیتس و گروه موسیقی بیتل ها، که به موفقیت مهمی دست یافته اند، همگی به تمرینات خود مدیون اند. جالب این جاست که می توان به طور دقیق مشخص کرد برای موفقیت در یک کار، چند ساعت باید برای آن وقت گذاشت، که البته شاید تعجبی نداشته باشد. دانشمندان بر این باورند که بعد از ۱۰۰۰۰ بار، هرکسی می تواند در هرچیزی متخصص شود.

بیتل ها، پیش از این که به معروفیت جهانی برسند، به مدت چندین سال، روزانه ۱۲ ساعت یا بیشتر، در کلوب های آلمانی، موسیقی اجرا کردند. مدیر گروه و خود اعضای بیتل ها اذعان دارند که این دوره ی تمرین فشرده، جوهره ی لازم برای ایجاد سبک را در اختیارشان نهاده است. بیتل ها، بدون این ۱۰۰۰۰ ساعت تمرین، نمی توانستند مثل حالا محبوب باشند. بیل گیتس نیز سال های نوجوانی اش را به تمرین برنامه نویسی در یکی از معدود دبیرستان های خصوصی که امکان کار را رایانه را برای محصلین فراهم می کرد، گذراند. رفتن به آن مدرسه ی خاص، یک تصادف بود، اما همین تصادف به وی این امکان را داد که تقریباً ۱۰۰۰۰ ساعت با کامپیوتر وقت بگذراند، حال آن که بسیاری از هم سالانش در آن سن چنین فرصتی نداشتند.

استیو جابز هم موقعیت مشابهی داشت. وقتی که او هنوز یک محصل دبیرستانی بود، این شانس را داشت که وقت زیادی را پای رایانه بگذراند. در حقیقت، با تحقیق درباره ی زندگی تقریباً همه ی افرادی که دستی بر آتش انقلاب رایانه ای داشته اند، متوجه می شویم که تمام آن ها، داستان مشابهی داشته اند. تمام کسانی که در زمینه ی فناوری اطلاعات، تأثیرگذار بوده اند، در سنین پایین تری نسبت به دیگران، به رایانه دسترسی داشته اند.

هفت


هیچ عددی به اندازه ی هفت، با حافظه ی کوتاه مدت و بلند مدت ما پیوند ندارد. روانشناس مشهور، جورج میلر، در یک مقاله ی شگفت انگیز ثابت کرد حافظه ی کوتاه مدت یا همان حافظه ی فعال ما، پیش از آن که بتواند اطلاعات جدید را نادیده بگیرد یا اطلاعات پیشین را فراموش کند، تنها می تواند ۷ مورد را در خود نگه دارد. به عبارت دیگر، اگر کسی ده نام بگوید و از شما بخواهد آن ها را بنویسید، شما تنها می توانید هفت تای این نام ها را به یاد بیاورید. این موضوع، بارها طی آزمون های بسیار زیادی، با حداکثر اختلاف متوسط دو مورد به اثبات رسیده است (یعنی ممکن است بعضی افراد، ۲ مورد را بیشتر یا کمتر به خاطر بیاورند.)

از این هم جالب تر، تحقیقاتی هستند که نشان می دهند حافظه ی بلند مدت ما نیز، تحت تأثیر عدد هفت است. وقتی اطلاعات جدیدی را هفت بار می شنویم، احتمال به خاطرسپاری آن بیشتر می شود. ظاهراً این عدد به طرز خاصی، یاخته های عصبی ما را فعال می کند. برخی از محققین بازاریابی معتقدند کالاهایی که قیمتشان به جای ۹ به ۷ ختم می شود، فروش بهتری دارند. به دلیل نامعلومی، ۲٫۹۷ دلار، جذاب تر از ۱٫۹۹ دلار به نظر می رسد.

صفر


امروزه صفر به نظر عدد چندان مهمی نمی رسد؛ اما اختراع آن میلیون ها سال طول کشیده است و به وجود آمدنش، دنیای ریاضیات را دگرگون کرده است. وجه حقیقتاً انقلابی عدد صفر، مفهوم پشت آن است. صفر، به تنهایی نمایش دهنده ی فقدان اعداد است، اما می توان از آن در ضرب اعداد به صورت نمایی استفاده کرد. اساساً، صفر، بسته به این که در کدام قسمت یک عدد گذاشته شود، مفهوم متفاوتی پیدا می کند. به این سیستم شمارش، دستگاه شمارش مکانی گفته می شود و نسبت به یک سیستم ثابت همچون ارقام رومی، امکان شمارش بسیار پیچیده تری در اختیار ما قرار می دهد. به لطف صفر، ما نه تنها می توانیم از مفهومی غیرممکن همچون فقدان اعداد سخن بگوییم، بلکه قادریم اعداد را تا بی نهایت افزایش دهیم.

در اینجا، سخنی از ریاضیدان برجسته، جورج هالستد را نقل قول می کنیم که نشان می دهد صفر نه فقط برای ریاضیدانان، که برای تمام اعضای جامعه ی مدرن، ارزش به سزایی دارد.

«اهمیت ایجاد علامت صفر، هرگز مبالغه آمیز نیست.  […]هیچ اختراع ریاضی دیگری وجود ندارد که به اندازه ی صفر، برای حرکت در مسیر آگاهی و قدرت، نیروبخش باشد.»

منبع زبان اصلی: weirdworm.com

برگردان و ویرایش: شگفتیها دات کام

+ نوشته شده در  پنجشنبه سی و یکم فروردین 1391ساعت 15:42  توسط کوثرپرداز  | 

فی جواهر ریاضیات



از زیبایی ها و شگفتی های ریاضی سخن گفتن آسان است اما درک آن متاسفانه برای همه کس آسان نیست. زیبایی های صوری را همه می بینند و همه هم تقریبا" بیک اندازه از آنها لذت می برند. اگر منظره ای یا صورتی یا تابلویی در نظر شما زیبا باشد، همان منظره، صورت یا تابلو در نظر دیگران هم کم و بیش به همان اندازه زیبا خواهد بود و دیگران هم از آنها تقریبا" به همان اندازه که شما لذت میبرید، لذت خواهند برد. اما زیباییهای ذهنی و لذت بردن از آنها مستلزم داشتن زمینه ی ذهنی مناسب است. بعنوان مثال، عرفان و فلسفه عرصه هایی از اندیشه بشری هستند که کاملا" ذهنی اند. اگر کسی بخواهد این رشته ها را درک کند و آنچه که فلاسفه و عرفا و رهروان این طرق زیبایی نامیده اند را ببیند و احساس کند راهی ندارد جز آنکه الفباء این عرصه های تفکر را بیاموزد و از  "هفت شهر" آنها بگذرد و مراحل و مراتب آنها را طی کند تا زمینه های لازم را برای ذهن خود بمنظور درک آن زیبایی ها فراهم نماید و از این راه به شناخت و لذت برسد.

 

ریاضییات نیز که محصول مستقیم نبوغ بشر است عرصه ای است ذهنی و از قاعده فوق مستثنا نیست. برای آنکه بتوان زیبایی های آنرا دید و شگفتی ها و عظمت قدرت آنرا در تشخیص و کشف حقیقت و حل مسائل درک کرد باید الفباء آنرا آموخت، اصول آنرا فرا گرفت و با تمرین و ممارست، روزگاری با آنها مانوس بود تا از این راه به درجاتی از شناخت رسید و لذت همنشینی با آنرا احساس کرد. ریاضیات البته عرصه های عملی هم فراوان دارد که مشاهده آثار آنها رضایت مندی و لذتی از نوع دیگر را در انسان ایجاد میکند.

 

در ریاضیات شش عدد وجود دارند که از بقیه ی اعداد متمایزند زیرا آنها ویژگی هایی دارند که سایر اعداد ندارند. این اعداد عبارتند از : صفر، یک، پی(نسبت محیط دایره به قطر آن)، e (عدد اویلر)،i (مبنای اعداد مختلط) و فای(نسبت طلایی). اویلر ریاضیدان سویسی قرن هجدهم رابطه ای بین پنج تا از این اعداد را بصورت این معادله کشف کرد:

 




اگر این معادله را در یک قاب عکس قرار داده و روی دیوار و در کنار تابلوی مونالیزا نصب کنید، در چشم یک ریاضیدان نه تنها هیچ از مونالیزا کم ندارد بلکه میتواند بسیار شگفت انگیز تر هم باشد. مونالیزا را تقریبا" هر کسی به اندازه فهمی که از هنر نقاشی دارد درک میکند و بدیهی است هر چه این فهم عمیق تر و فنی تر باشد، درک هم عمیق تر خواهد بود. اما زیبایی و شگفتی این معادله را تنها کسی میفهمد که با اعداد الفت دراز داشته و بویژه این پنج عدد را شناخته و چگونگی خلقت آنها را فهمیده باشد و بداند که هر چند آنها به ظاهر نزدیک هم اند اما ماهیت آنها به اندازه کهکشانها از یکدیگر دور است ولی وقتی استادانه در کنار هم قرار میگیرند چنان با شوق با یکدیگر می جوشند که تعادلی متقارن و بس زیبا و بدیع بوجود می اورند. تازه این معادله خود حالت خاصی از یک معادله کلی تر، زیبا تر و شگفت انگیز تری است که پای دو نسبت مثلثاتی اصلی را هم به میان میکشد :

 

از این  "تابلو ها" که هر کدام حاصل نبوغ یک ریاضیدان است در دنیای بزرگ ریاضیات فراوان یافت میشود. تقریبا" دو هزار سال پیش  "هارون"  ریاضیدان ، مهندس و مساح رمین های زراعتی در مصر باستان فرمولی کشف کرد که مساحت مثلث را از روی طولهای سه ضلع آن به دست میدهد. اگر طول اضلاع مثلثی را به  a و  b و  c و نصف محیط آنرا به  p نشان دهیم، آنگاه مساحت مثلث،  A ، از روی فرمول هارون محاسبه میشود

تقریبا" ششصد سال پس از هارون مصری، براهماگوپتای هندی فرمول مشابهی برای چهار ضلعی محاطی کشف کرد. اگر طول اضلاع یک چهار ضلعی محاطی را به  a ،   b ،  c و  d و نصف محیط آنرا به p نشان دهیم، آنگاه مساحت چهار ضلعی،   A ، از روی فرمول براهماگوپتا محاسبه میشود:

آیا این فرمولها را با اینهمه سادگی شکل و تقارن جز زیبا چیز دیگری میتوان نامید؟

 

عدد   پی بدون تردید یکی از مهمترین و اسرار آمیز ترین اعداد ریاضی است. محققین بسیاری در گوشه و کنار جهان از زمان باستان تا به امروز (و بویژه در سالهای اخیر پس از پیدایش کامپیوتر) میلیونها ساعت از وقت خود را صرف مطالعه این عدد اسرارآمیز کرده اند و هر چه بیشتر در باره اش تحقیق میکنند و بیشتر میفهمند، به پیچیدگی و اسرارامیز بودن آن بیشتر افزوده میشود. بیش از 200 بیلیون از ارقام بعد از ممیز آنرا کشف کرده اند اما هرگز انظباطی در ترتیب آنها مشاهده نشده است. چرا ریاضیات که سراسر انظباط است گاهی این چنین بی انظباط میشود که در بیش از 200 بیلیون رقم هم هیچ ترتیبی مشاهده نمیشود؟ تازگی ها محققینی که در باره عدد پی تحقیق میکنند، به فکر افتاده اند که ممکن است بتوانند گروههایی از ارقام پی را پیدا کنند که به همان صورت گروهی و به شکلی منظم و با قاعده تکرار شوند. آنها این را "نظمی در بی نظمی" نامیده اند اما هنوز نتیجه قطعی حاصل نشده است. با اینهمه آیا این شگفت انگیز و اسرار آمیز نیست که در میان اینهمه بی نظمی ارقام پی، رقمهای 358 ام، 359 ام و 360 ام بعد از ممیز این رشته بی انتها بترتیب اعداد 3 و 6 و 0 هستند که عدد (360) را تشکیل میدهند که درجات موجود در دایره است؟! آیا این یک تصادف است یا یک راز؟  در زیر، عدد پی را تا 360  رقم بعداز ممیز در شش ردیف شصت تایی مشاهده میکنید. بخصوص به سه رقم آخر آن توجه فرمایید :

حالا شما اگر آرک تانژانت یک، دو و سه را با هم جمع کنید همین عدد اسرار آمیز بسادگی پیدا میشود:

نه تنها این معادله به خودی خود زیباست بلکه برهان آن نیز بسیار زیباست خصوصن که به "برهان بی کلام"شهرت یافته است یعنی بوسیله یک "شکل" و در کمال ایجاز این فرمول ثابت میشود

 

یکی از شاگردان من که هزار رقم بعد از ممیز عدد پی را فقط بخاطر تفنن و اینکه قدرت حافظه اش را نشان بدهداز حفظ کرده بود میگفت که برای از حفظ کردن آنها یک "ریتمی" را پیدا کرده است و وقتیکه 45 دقیقه وقت خواست تا در حضور عده ای منجمله روزنامه نگاران آن هزار رقم را روی تخته بنویسد، گروه گروه ارقام را مینوشت و بین این گروهها جاهایی را خالی میگذاشت و بعد بر میگشت و آن جاهای خالی را با ارقام دیگری پر میکرد تا هزار رقم کامل شد. قابل توجه است که بدانید رکورد حفظ کردن ارقام بعد از ممیز عدد پی متعلق به یک ژاپنی بنام Hiroyuki Goto  است که در سال 1995 توانست 42195 رقم را حفظ کند.

 

در حدود 2300 سال پیش، اقلیدس ثابت کرد که اعداد اول پایان ناپذیرند. برهان او تا به امروز یکی از زیبا ترین برهان های علم ریاضی و از شاهکار های ریاضیات استدلالی است که بواسطه سادگی و ایجاز، بسیار قابل تحسین است. البته برهان های دیگری هم هستند که در مقام خود زیبا و ستودنی میباشند ولی برهان اقلیدس چیز دیگری است. او چنین استدلال کرد: اعداد اول بی پایانند اما اگر کسی ادعا کند که پایانی بر اعداد اول وجود دارد، اجازه دهید آن "بزرگترین" عدد اول را   PL بنامیم( مخفف The Last Prime )، پس سلسله اعداد اول از ابتدا تا انتها خاهد شد :

حالا همه این اعداد را در هم ضرب کرده و به حاصلضرب آنها یکواحد اضافه میکنیم و نام این عدد جدید را Q میگذاریم :

Q عدد جالبی است. اگر آنرا بر هر یک از اعداد اول موجود (از  2  گرفته تا  PL ) تقسیم کنیم، باقیمانده هر تقسیم برابر یک خواهد شد. پس  Q خود "اول" است و بدیهی است که از  PL هم بزرگتر است( چون برابر است با حاصلضرب    PL در تمام اعداد اول موجود قبل از آن، به اضافه یک ). پس PL بزرگترین عدد اول نیست و Q از آن بزرگتر است. این روش استدلال ریاضی را در فارسی، برهان خلف ، در انگلیسی Proof by Contradiction و در لاتین Reductio ad Absurdum میگویند.

 

شگفتیهای ریاضیات چون سلسله اعداد بی پایانند. تردید دارم که در سایر رشته هایی که از نبوغ بشر سرچشمه گرفته و زاده شده اند، اینهمه رمز و راز و شگفتی پیدا شود که در ریاضیات هست. باید ریاضیات را مطاله کرد تا به این زیبایی ها و شگفتی ها پی برد.

 

"نسبت طلایی" که به حرف یونانی فای نشان داده میشود و امیدوارم در فرصت مناسبی بتوانم مقاله ای جداگانه در باره آن خدمتتان تقدیم کنم، یکی از شگفتیهای بزرگ اعداد است. فای از دوران باستان شناخته شده و در زمینه های هنر و معماری بسیار به کار برده شده است لیکن تحقیقاتی که اخیرا" روی آن شده نقش حیرت انگیز و باور نکردنی آنرا در طبیعت بیشتر آشکار ساخته است. نسبت طلایی یا عدد طلایی عددی است تقریبا" برابر  1.618  و تحقیقا" برابر


که ظاهرا" هیچ فرقی با اعداد گنگ دیگر ندارد جز آنکه مقدار عددیش متفاوت است. اما در حقیقت عددی است بسیار مخصوص و اسرار آمیز. این عدد چطور بوجود میاید؟

 

مربع ABCD را در نظر بگیرید با طول ضلع یکواحد( شکل زیر ). نقطه ی O وسط ضلع CB است. به مرکز این نقطه و به شعاع  OA کمانی بکشید تا امتداد CB را در نقطه ی Q قطع کند. مربع مستطیلPQCD یک  "مستطیل طلایی" است و نسبت طول به عرض آن برابر  1.618  میباشد.

گفته شده است که چنین مستطیلی به چشم انسان زیباتر از سایر مستطیل ها است. بهمین دلیل از دوران باستان تا به امروز در معماری بسیار به کار رفته است و امروز هم وقتی میخواهند چیزی را مستطیل شکل بسازند که چشم نواز هم باشد آنرا به شکل مستطیل طلایی میسازند یعنی اگر طولش را بر عزضش تقسیم کنیم عددی نزدیک به  1.6  بدست میاید. به عنوان مثال کارتهای اعتباری، گواهینامه رانندگی و کارتهای تلفن همگی به مستطیل طلایی نزدیک اند. نسبت طلایی در ساختمان بسیاری از قسمتهای بدن انسان منجمله دست، صورت، ضربان قلب، اندازه  DNA و غیره، همچنین در ساختمان بدن گیاهان و جانوران مشاهده شده است. مثلا" نسبت طول ساعد انسان (از آرنج تا مچ دست) را بر طول کف دست برای تعداد زیادی از انسانها محاسبه کرده و معدل گرفته اند : عددی نزدیک به    1.6 بدست آمده است. (در مورد من این نسبت  27 cm  به  19 cm  است که برابر  1.42 میباشد)

و نیز وقتیکه مولکول DNA   را در یک مستطیل محاط کنید بطوریکه اضلاع مستطیل مماس بر آخرین اتمهای مولکول از چهار جهت باشند، مستطیل طلایی بدست خواهد آمد.

حتی در انجیل نیز اشاره ای به نسبت طلایی شده است، بهمین دلیل این نسبت را از قدیم  "نسبت الهی" هم گفته اند و گروهی را عقیده بر این است که در خلقت جهان هستی و کاینات این نسبت نقش ویژه ای دارد.

 

رشته ی فیبوناچی که توسط کشیشی مسیحی به همین نام(Leonardo Fibonacci, 1170-1240 ) ساخته شد رشته ایست که هر ترم آن از جمع کردن دو ترم قبلی اش بوجود میاید. اگر این رشته را با صفر شروع کنیم، بیست ترم اول آن خواهد شد

 

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181

 

اگر هر ترم این رشته را بر ترم قبلی اش تقسیم کنیم، نسبت طلایی بدست میاید و هر چه که دو ترم انتخاب شده بزرگتر باشند خارج قسمت آنها به مقدار تحقیقی نسبت طلایی نزدیکتر میشود. البته  اجباری نداریم رشته فوق را با صفر شروع کنیم، میتوانیم آنرا با هر عدد مثبت دلخواهی( بعنوان ترم یکم )شروع کنیم وآنرا با عدد قبلی اش جمع نماییم تا ترم دوم بدست آید و این ترم را نیز با ترم قبلی اش جمع کنیم تا ترم سوم حاصل شود و همینطور... این رشته البته دیگر رشته فیبوناچی نیست و ما میتوانیم مثلا" نام خودمان را روی آن بگذاریم! بعنوان مثال اگر ترم اول را  81  انتخاب کنیم، آنگاه خواهیم داشت :

 

81, 161, 242, 403, 645, 1048, …

 

در اینجا نیز اگر هر ترم را بر ترم قبلی اش تقسیم کنیم، خارج قسمت، "نسبت طلایی" خواهد شد و هر چه جلوتر برویم این نسبت دقیقتر میشود.

 

حالا یک عدد مثبت انتخاب کنید و آنرا وارد یک ماشین حساب نمایید. جذر آنرا بگیرید و به آن یکواحد اضافه کنید. باز جذر عدد حاصل را بگیرید و به آن یکواحد اضافه کنید و اینکار را چندین مرتبه تکرار نمایید. با کمال  تعجب خواهید دید که حاصل محاسبات پس از نوسانهای زیاد به نسبت طلایی نزدیک میشود و هر چه چرخه فوق را بیشتر تکرار کنید به مقدار تحقیقی آن نزدیکتر خواهید شد. اگر عدد انتخابی شما یک باشد، آنگاه نسبت طلایی برابر خواهد شد با :

این مرتبه عدد مثبت دلخواه دیگری بگیرید، آنرا معکوس کنید و به آن یکواحد اضافه نمایید. حاصل را باز معکوس کنید و به آن یکواحد اضافه نمایید و اینکار را چندین مرتبه دیگر هم تکرار کنید. باز پس از نوسانهای زیاد، به نسبت طلایی میرسید. اگر این مرتبه نیز عدد انتخابی شما یک باشد، آنگاه نسبت طلایی برابر خواهد شد با :

آنچه قابل ملاحظه است اینستکه محاسباتی که در سه چهار آزمایش فوق انجام گرفت، الگوریتمی کاملا" متفاوت با هم دارند :

"جمع کردن با ترم قبلی" و "جذر گرفتن و اضافه نمودن یک" و "معکوس نمودن و اضافه کردن یک" ماهیتی کاملا" متفاوت دارند ولی با کمال تعجب حاصل همگی یک چیز است : نسبت طلایی.

 

آیا میتوان این پدیده ها را جز "زیبا و شگفت انگیز" چیز دیگری نامید؟

 

********************

 

از چند هزار سال پیش به اینطرف که بشر هندسه اقلیدسی را آموخت و با مفاهیم، اصول و قضایای آن آشنا گشت، همواره این اصل بدیهی راپذیرفته بود که هر شکل مسطحی، خواه کوچک باشد خواه بزرگ، هم مساحتش معین است و هم محیطش. مثلا" اگر قطعه زمینی دارای مساحتی برابر با  1000  متر مربع باشد،بسته به اینکه چه شکلی داشته باشد، دارای محیط مشخصی خواهد بود : مثلا" اگر به شکل دایره باشد محیطش  112  متر است و اگر به شکل یک مثلث متساوی الاضلاع باشد، محیطش  144  متر خواهد شد. سرزمین ایران دارای مساحتی تقریبا" برابر    1, 648, 000کیلومتر مربع است. اگر ایران به شکل یک دایره بود پیرامونی برابر  4551  کیلومتر میداشت. اگر این مسافت را با خودرویی که سرعتش صد کیلومتر در ساعت است طی کنیم، تقریبا"  46  ساعت طول میکشد تا این مسافت را بپیماییم. اگر ایران به شکل یک مربع بود، پیرامونش  5135  کیلومتر میشد که با همان خودرو ظرف تقریبن  51  ساعت میتوانستیم یک دور کامل بدور آن بزنیم.

 

در حدود صد سال پیش یک ریاضیدان سوئدی بنام کخ(Niels Fabian Helge von Koch, 1870-1924 ) وقتیکه مشغول مطالعه اشکال هندسی بود و مساحت ها و محیط های آنها را بررسی میکرد، متوجه یک خاصیت غیر عادی و تا حدودی پارادوکسیکال در برخی از آنها شد. او کشف کرد که میتوان شکلهایی ترسیم نمود که اندازه مساحتشان معین، اما اندازه محیطشان بینهایت باشد و جالب اینجاست که الزامی هم ندارد که این چنین شکلهایی بسیار بسیار بزرگ باشند تا محیطشان بینهایت شود، برعکس میتوانند به بزرگی یک کف دست باشند و در عین حال محیطشان بینهایت باشد. برای اینکه این موضوع بهتر درک شود به مثال زیر توجه فرمایید :

 

فرض کنید که یک مثلث متساوی الاضلاع دارید که هر ضلع آن  81  سانتیمتر است. هر ضلع را به سه قسمت مساوی تقسیم کنید( هر یک 27 سانتیمتر )و قسمت میانی را بردارید و بجای آن یک مثلث متساوی الاضلاع که طول هر ضلع آن  27  سانتیمتر باشد( بدون قاعده، مطابق شکل زیر )قرار دهید تا ستاره شش پر درست شود. محیط این ستاره متشکل از  12  قطعه خط است هر یک به طول  27  سانتیمتر. هر یک از این قطعه خط ها را به سه قسمت مساوی تقسیم کنید( هر یک 9 سانتیمتر )و مثل دفعه قبل، قسمت میانی آنرا بردارید و بجایش یک مثلث متساوی الاضلاع با ابعاد  9  سانتیمتر( باز بدون قاعده )قرار دهید تا ستاره  18  پر درست شود.

اگر اینکار را بینهایت مرتبه انجام دهید، شکلی حاصل میشود که شبیه دانه های کریستال برف در زیر میکروسکوپ است و بهمین دلیل هم آنها را شکلهای دانه برفی( Snowflake Curves )میگویند.

استفاده از فرمولهای تصاعد هندسی میتوان ثابت کرد که مساحت چنین شکلهایی بسوی مقدار معینی میل میکند در حالیکه پیرامونشان بسوی بینهایت میرود( نگاه کنید به مسئله شماره   )

 

اگر به شکلهای فوق با دقت نگاه کنید، خواهید دید که همه آنها در یک مربع معین محاط شده اند.  صرفنظر از اینکه چند مرتبه اضلاع مثلث ها را کوچک وکوچکتر کنید، اشکال جدید حاصل، هر گز از مربع محیطی خود خارج نمیشوند و بهمین دلیل هم مساحت آنها همواره کمتر از مساحت مربع است ولی جالب اینجاست که در همین مربع محدود، محیط این دانه های برفی با افزایش تعداد مثلثهای بدون قاعده افزایش یافته و بسوی بینهایت میل میکند.

 

اگر تکه ای کوچک از یک منحنی برفی را در زیر ذره بین بزرگ کنیم، شکلی دقیقا" شبیه دانه بزرگتر آن بدست میاید. اشکالی که چنین خاصیتی را دارا هستند، اشکال شکسته( Fractals )نامیده میشوند و ان بخش از هندسه که در باره این اشکال گفتگو میکند، هندسه اشکال شکسته(Fractal Geometry )نام دارد.

 

در آزمایش فوق اگر بجای مثلث متساوی الاضلاع، مثلن با یک مربع شروع میکردید، و در وسط هر ضلع آن، مربع کوچکتری( با اضلاع مثلا" 4/1 )میگذاشتید و اینکار را بینهایت مرتبه تکرار میکردید باز شکلی دانه برفی منتها با مساحت دیگری بدست میامد ولی محیطش بهر حال بسوی بینهایت میرفت.

 

***********************

 

در سال  1949  یک ریاضیدان هندی به نام کاپرکار( Kaprekar, 1905-1988 )ویژگی جالبی را در اعداد کشف کرد و در مقاله ای در همان سال منتشر نمود. او کشف خود را اینطور توضیح داد : یک عدد چند رقمی انتخاب کنید( مثلن 8952 ). ارقام آنرا یکبار بصورت نزولی مرتب کنید( 9852 )و یکبار هم بصورت صعودی( 2589 )تا "بزرگترین" و "کوچگترین" عدد با همان ارقام حاصل آید. تفاضل این دو عدد را بدست آورید( 7263 )و با این عدد نیز همان کاری را بکنید که با عدد انتخابی خود کردید : یعنی ارقام آنرا بصورت نزولی و بعد بصورت صعودی مرتب کنید( 7632 و 2367 )و تفاضل آنها را بدست آورید و اینکار را چند مرتبه دیگر هم تکرار کنید. با کمال تعجب خاهید دید که همیشه به یک عدد ثابت خواهید رسید. اگر عدد انتخابی شما چهار رقمی بوده باشد عدد ثابتی که همواره در عاقبت به آن میرسید  6174  خواهد بود. این عدد را "ثابت کاپرکار برای چهار رقمی ها" میگویند. این آزمایش را با یک عدد سه رقمی یا پنج رقمی هم انجام دهید. خواهید دید که برای هر عدد  n- رقمی یک " ثابت کاپرکار" مخصوصی وجود دارد که تغییر ناپذیر است.

 

از آن تاریخ تا کنون و بخصوص در سالهای اخیر و با استفاده از کامپیوتر تحقیقات زیادی روی این اکتشاف شده و نتایج جالبی هم بدست آمده است. مثلا" معلوم شده که دقیقا"  63  عدد سه رقمی هستند ( مثل  212 و 787 و غیره )که این خاصیت را ندارند و در نهایت به صفر منتهی میشوند در حالیکه سایر اعداد سه رقمی ظرف حد اکثر شش چرخه به عدد  495  ( ثابت کاپرکار برای سه رقمی ها )میرسند.  همچنین معلوم شده است که دقیقا"  77  عدد چهار رقمی هستند( مثل  4544 و 5556 وغیره )که این خاصیت را ندارند و باز به صفر منتهی میشوند در حالیکه بقیه ی اعداد چهار رقمی ظرف حد اکثر هشت چرخه به عدد  6174  ( ثابت کاپرکار برای چهار رقمی ها )میرسند.

 

براستی چرا این اتفاقات میافتند و چگونه میتوان اینهمه نظم و آنهمه بی نظمی را توضیح داد؟ آیا در همه آن بی نظمی ها خود نظمی نهفته نیست که هنوز بر ما پوشیده است؟

 

همانگونه که قبلا" گفته شد شگفتی ها و زیبایی های ریاضییات پایانی ندارند. تحقیقات ریاضیدانان و جستجوگران دایمن پرده از روی آنها برمیدارد و جلوه دیگری از رازهای درون آنها را آشکار میکند، رازهایی که همواره در طی قرون برای بشر جذاب و تحسین بر انگیز بوده اند. آنچه در این مقاله در مورد زیبایی ها و شگفتی های ریاضییات گفته شد چون قطره ای بود از دریا. امیدوارم در طول مطالعه ی خود از ریاضییات، با چشم زیبا بین، و با تعمق در جزئیات هر مطلبی که مطالعه میکنید و بخصوص با توجه عمیق به الگوهای ریاضی که سر شار از نظم( و گاهی بی نظمی )هستند بتوانید زیبایی ها و شگفتی های بیشتری ببینید و شاید خود روزی در میان آنهمه بی نظمی، نظمی کشف کنید و یک شگفتی جدید خلق نمایید.

با تشکر از استاد بیژن اسدیان

 

 

+ نوشته شده در  پنجشنبه سی و یکم فروردین 1391ساعت 15:32  توسط کوثرپرداز  | 

ارتباط نسبت طلایی با دست و قلب

ساختار قلب و تناسب دست هر دو با سریهای Fibonacci و نسبت طلایی مربوطه در ارتباط هستند - ثابت شده که عدد 618/1 با بهینه سازی عملکرد مرتبط است.در این مقاله شواهدی که ارتباط نسبت طلایی با دست و قلب را نشان می‌دهد ارائه شده است. مشخص شده که ناهنجاریهای اندام فوقانی شایع ترین وضعیت غیر طبیعی اسکلتی در بیماران مبتلا به بیماری مادرزادی قلب می‌باشد. مطالعات جنین شناسی روی سندرومهای دست-قلب شواهدی برای یک بستر تکاملی کاردیوملیک که به وسیله ژنهای داوطلب شرکت کننده در طراحی قلب و دست حمایت می شود فراهم ساخته است. برهم کنشهای مولکولی دقیق، یک مدل بهینه قطعی تکامل کاردیوملیک را هدایت و کنترل می نماید که قوانین فیزیکی حاکم بر آن هنوز شناخته شده نیست. این فرضیه مطرح می شود که نسبت طلایی ممکن است نمایانگر پایه ریاضی برای تکامل دست-قلب باشد. بی نظمی و بی قاعدگی این قوانین زیربنایی ممکن است به صورت انحراف ساختار دست-قلب از چیزی که توسط نسبت طلایی تعیین می شود تظاهر نماید. نسبت تغییر یافته دست در عوض ممکن است یک معیار پیش بینی کننده برای عیوب و نقصهای عملکردی قلبی-عروقی باشد.

+ نوشته شده در  پنجشنبه سی و یکم فروردین 1391ساعت 15:25  توسط کوثرپرداز  | 

عدد اسرار آمیز طبیعت

عدد گنگی است که تقریبا برابر با و دربسیا ری از جاها این نسبت رعایت شده است وهر انسانی در زندگی روزمره خود با آن کار می کند.

1.618

http://www.phimatrix.com/dental/guide/image025.jpg


این نسبت چگونه بدست می آید؟

یکی از شگفتیهای بزرگ اعداد است. فای از دوران باستان شناخته شده و در زمینه های هنر و معماری بسیار به کار برده شده است لیکن تحقیقاتی که اخیرا" روی آن شده نقش حیرت انگیز و باور نکردنی آنرا در طبیعت بیشتر آشکار ساخته است. نسبت طلایی یا عدد طلایی عددی است تقریبا" برابر  1.618  و تحقیقا" برابر

                                                                    
که ظاهرا" هیچ فرقی با اعداد گنگ دیگر ندارد جز آنکه مقدار عددیش متفاوت است. اما در حقیقت عددی است بسیار مخصوص و اسرار آمیز. این عدد چطور بوجود میاید؟

 

مربع ABCD  را در نظر بگیرید با طول ضلع یکواحد( شکل زیر ). نقطه ی O  وسط ضلع CB  است. به مرکز این نقطه و به شعاع  OA کمانی بکشید تا امتداد CB را در نقطه ی Q قطع کند. مربع مستطیلPQCD  یک  "مستطیل طلایی" است و نسبت طول به عرض آن برابر  1.618  میباشد.

                                        

 گفته شده است که چنین مستطیلی به چشم انسان زیباتر از سایر مستطیل ها است. بهمین دلیل از دوران باستان تا به امروز در معماری بسیار به کار رفته است و امروز هم وقتی میخواهند چیزی را مستطیل شکل بسازند که چشم نواز هم باشد آنرا به شکل مستطیل طلایی میسازند یعنی اگر طولش را بر عزضش تقسیم کنیم عددی نزدیک به  1.6  بدست میاید. به عنوان مثال کارتهای اعتباری، گواهینامه رانندگی و کارتهای تلفن همگی به مستطیل طلایی نزدیک اند. نسبت طلایی در ساختمان بسیاری از قسمتهای بدن انسان منجمله دست، صورت، ضربان قلب، اندازه  DNA و غیره، همچنین در ساختمان بدن گیاهان و جانوران مشاهده شده است. مثلا" نسبت طول ساعد انسان (از آرنج تا مچ دست) را بر طول کف دست برای تعداد زیادی از انسانها محاسبه کرده و معدل گرفته اند : عددی نزدیک به    1.6 بدست آمده است. (در مورد من این نسبت  27 cm  به  19 cm  است که برابر  1.42 میباشد)

 

                   

 و نیز وقتیکه مولکول DNA   را در یک مستطیل محاط کنید بطوریکه اضلاع مستطیل مماس بر آخرین اتمهای مولکول از چهار جهت باشند، مستطیل طلایی بدست خواهد آمد.

                                    

 حتی در انجیل نیز اشاره ای به نسبت طلایی شده است، بهمین دلیل این نسبت را از قدیم  "نسبت الهی" هم گفته اند و گروهی را عقیده بر این است که در خلقت جهان هستی و کاینات این نسبت نقش ویژه ای دارد.

 

رشته ی فیبوناچی که توسط کشیشی مسیحی به همین نام(Leonardo Fibonacci, 1170-1240 ) ساخته شد رشته ایست که هر ترم آن از جمع کردن دو ترم قبلی اش بوجود میاید. اگر این رشته را با صفر شروع کنیم، بیست ترم اول آن خواهد شد

 

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181                       

 

اگر هر ترم این رشته را بر ترم قبلی اش تقسیم کنیم، نسبت طلایی بدست میاید و هر چه که دو ترم انتخاب شده بزرگتر باشند خارج قسمت آنها به مقدار تحقیقی نسبت طلایی نزدیکتر میشود. البته  اجباری نداریم رشته فوق را با صفر شروع کنیم، میتوانیم آنرا با هر عدد مثبت دلخواهی( بعنوان ترم یکم )شروع کنیم وآنرا با عدد قبلی اش جمع نماییم تا ترم دوم بدست آید و این ترم را نیز با ترم قبلی اش جمع کنیم تا ترم سوم حاصل شود و همینطور... این رشته البته دیگر رشته فیبوناچی نیست و ما میتوانیم مثلا" نام خودمان را روی آن بگذاریم! بعنوان مثال اگر ترم اول را  81  انتخاب کنیم، آنگاه خواهیم داشت :

 

81, 161, 242, 403, 645, 1048, …                                                                                          

 

در اینجا نیز اگر هر ترم را بر ترم قبلی اش تقسیم کنیم، خارج قسمت، "نسبت طلایی" خواهد شد و هر چه جلوتر برویم این نسبت دقیقتر میشود.

 

حالا یک عدد مثبت انتخاب کنید و آنرا وارد یک ماشین حساب نمایید. جذر آنرا بگیرید و به آن یکواحد اضافه کنید. باز جذر عدد حاصل را بگیرید و به آن یکواحد اضافه کنید و اینکار را چندین مرتبه تکرار نمایید. با کمال  تعجب خواهید دید که حاصل محاسبات پس از نوسانهای زیاد به نسبت طلایی نزدیک میشود و هر چه چرخه فوق را بیشتر تکرار کنید به مقدار تحقیقی آن نزدیکتر خواهید شد. اگر عدد انتخابی شما یک باشد، آنگاه نسبت طلایی برابر خواهد شد با :

 

                                                

 

این مرتبه عدد مثبت دلخواه دیگری بگیرید، آنرا معکوس کنید و به آن یکواحد اضافه نمایید. حاصل را باز معکوس کنید و به آن یکواحد اضافه نمایید و اینکار را چندین مرتبه دیگر هم تکرار کنید. باز پس از نوسانهای زیاد، به نسبت طلایی میرسید. اگر این مرتبه نیز عدد انتخابی شما یک باشد، آنگاه نسبت طلایی برابر خواهد شد با :

 

                                                       

آنچه قابل ملاحظه است اینستکه محاسباتی که در سه چهار آزمایش فوق انجام گرفت، الگوریتمی کاملا" متفاوت با هم دارند :

 "جمع کردن با ترم قبلی" و "جذر گرفتن و اضافه نمودن یک" و "معکوس نمودن و اضافه کردن یک" ماهیتی کاملا" متفاوت دارند ولی با کمال تعجب حاصل همگی یک چیز است : نسبت طلایی.

از تقسیم پاره خط به دو قسمت به طوری که نسبت طول قطعه بزرگ تر به طول تمام پاره خط، مساوی با طول قطعه کوچک تر به قطعه بزرگ تر باشد. این نسبت در قدیم به تقسیم خط به نسبت ذات وسطین و طرفین (یا تقسیم توافقی) معروف بوده است که معادل آن به صورت اعشاری در حدود 1.618 خواهد بود که این عدد همان عدد فی می باشد و یکی از خواص آن این است که اگر یک واحد از آن کسر کنیم مقدار آن برابر عکس خودش می شود.
نتایج تحقیقات فراوان علمی و روان شناسی اعلام می کند که زیباترین سطوح و اشکال از نظر انسان ها، آنهایی هستند که در ابعاد آنها نسبت طلایی به کار رفته باشد.

تعبیر هندسی دیگر اینگونه‌است: پاره خط AB و نقطهٔ M روی آن مفروضند به گونه‌ای که نسبت a به b برابر است با نسبت a+b به a. این نسبت برابر φ است. یعنی:

 

پیشینه توجه به عدد طلایی نه به زمان فیبوناچی بلکه به زمانهای بسیار دورتر می‌رسد.اقلیدس در جلد ششم از سیزده جلد کتاب مشهور خود که در آنها هندسه اقلیدسی را بنا نهاد، این نسبت را مطرح کرده‌است. لوکا پاچیولیThe Divine Proportion) تالیف کرد. وی در آن نقاشی‌هایی از لئوناردو داوینچی آورده‌است که پنج جسم افلاطونی را نمایش می‌دهند و در آنها نیز به این نسبت اشاره شده‌است. در سال ۱۵۰۹ میلادی کتابی با عنوان نسبت الهی (

مصریان، سالها قبل از میلاد از این نسبت آگاه بوده‌اند و آن را در ساخت اهرام مصر رعایت کرده‌اند. بسیاری از الگوهای طبیعی در بدن انسان این نسبت را دارا هستند. نسبت طول ضلع پنج پر منتظم به طول ضلع پنج ضلعی منتظم برابر همین عدد است. روانشناسان هم بر این باورند زیباترین مستطیل به دید انسان، مستطیلی است که نسبت طول به عرض آن برابر عدد طلایی باشد

محاسبه

 

برای بدست آوردن نسبت طلائی از تعریف هندسی آن استفاده می‌کنیم:

از این معادله که تعریف عدد است، که از معادله سمت راست می‌توان نتیجه گرفت: ، پس خواهیم داشت:

با حذف b از طرفین به دست می‌آید:

پس از ساده سازی این معادله، معادله درجه دومی بر حسب به دست می‌آید:

و پاسخ مثبت آن:

که همان نسبت طلائی است

 

اهرام مصر یکی از قدیمی ترین ساخته های بشری است که در آن هندسه و ریاضیات بکار رفته شده است. مجموعه اهرام Giza در مصر که قدمت آنها به بیش از 2500 سال پیش از میلاد می رسد یکی از شاهکارهای بشری است که در آن نسبت طلایی بکار رفته است. به این شکل نگاه کنید که در آن بزرگترین هرم از مجموعه اهرام Giza خیلی ساده کشیده شده است.

مثلث قائم الزاویه ای که با نسبت های این هرم شکل گرفته شده باشد به مثلث قائم مصری یا Egyptian Triangle معروف هست و جالب اینجاست که بدانید نسبت وتر به ضلع هم کف هرم معادل با نسبت طلایی یعنی دقیقا” 1.61804 می باشد. این نسبت با عدد طلایی تنها در رقم پنجم اعشار اختلاف دارد یعنی چیزی حدود یک صد هزارم. باز توجه شما را به این نکته جلب می کنیم که اگر معادله فیثاغورث را برای این مثلث قائم الزاویه بنویسم به معادله ای مانند phi2=phi+b2 خواهیم رسید که حاصل جواب آن همان عدد معروف طلایی خواهد بود. (معمولا” عدد طلایی را با phi نمایش می دهند)

طول وتر برای هرم واقعی حدود 356 متر و طول ضلع مربع قاعده حدودا” معادل 440 متر می باشد بنابر این نسبت 356 بر 220 (معادل نیم ضلع مربع) برابر با عدد 1.618 خواهد شد.

کپلر (Johannes Kepler 1571-1630) منجم معروف نیز علاقه بسیاری به نسبت طلایی داشت بگونه ای که در یکی از کتابهای خود اینگونه نوشت : “هندسه دارای دو گنج بسیار با اهمیت می باشد که یکی از آنها قضیه فيثاغورث و دومی رابطه تقسیم یک پاره خط با نسبت طلايي می باشد. اولین گنج را می توان به طلا و دومی را به جواهر تشبیه کرد”.

تحقیقاتی که کپلر راجع به مثلثی که اضلاع آن به نسبت اضلاع مثلث مصری باشد به حدی بود که امروزه این مثلث به مثلث کپلر نیز معروف می باشد. کپلر پی به روابط بسیار زیبایی میان اجرام آسمانی و این نسبت طلایی پیدا کرد.

 نسبت طلایی در خوشنویسی

استاد میرعماد با پالایش خطوط پیشینیان و زدودن اضافات و ناخالصی‌ها از پیکره نستعلیق و نزدیک کردن شگرف نسبت‌های اجزای حروف و کلمات، به اعلا درجه زیبایی یعنی نسبت طلایی رسید و قدمی اساسی در اعتلای هنر نستعلیق برداشت. با بررسی اکثریت قاطع حروف و کلمات میرعماد متوجه می‌‌شویم که این نسبت به عنوان یک الگو در تار و پود حروف و واژه‌ها وجود دارد و زاویه ۴۴۸/۶۳ درجه که مبنای ترسیم مستطیل طلایی است، در شروع قلم گذاری و ادامه رانش قلم، حضوری تعیین کننده دارد. این مهم قطعاً در سایه شعور و حس زیبایی‌شناسی وی حاصل آمده، نه آگاهی از فرمول تقسیم طلایی از دیدگاه هندسی و علوم ریاضی. میرعماد این نسبت‌ها را نه تنها در اجزای حروف بلکه در فاصله دو سطر و مجموعه دو سطر چلیپاها و کادرهای کتابت و قطعات رعایت می‌‌کرده است.

و در آخر نمونه های از نسبت طلایی:

(بعضی از نمونه برای توضیح بیشتر درمتن از آن ها نامبرده شده است)

وقتیکه مولکول DNA   را در یک مستطیل محاط کنید بطوریکه اضلاع مستطیل مماس بر آخرین اتمهای مولکول از چهار جهت باشند، مستطیل طلایی بدست خواهد آمد.

                                                     

" نسبت طول ساعد انسان (از آرنج تا مچ دست) را بر طول کف دست برای تعداد زیادی از انسانها محاسبه کرده و معدل گرفته اند : عددی نزدیک به    1.6 بدست آمده است.

 

                   

. نسبت طول ضلع پنج پر منتظم به طول ضلع پنج ضلعی منتظم

دارای نسبت طلایی هستند
نسبت قد انسان به فاصله ناف تا پاشنه پا
نسبت فاصله شانه تا بالای سر به اندازه سر
نسبت فاصله ناف تا بالای سر به فاصله شانه تا بالای سر
نسبت فاصله ناف تا زانو به فاصله زانو تا پاشنه پا


پوسته مارپیچی یک حلزون نمونه ای ساده و درعین حال زیبا از نسبت طلائی است.


نسبت طلایی در فواصل خال های پروانه


نسبت طلائی در فواصل افقی قطعات ویولون


رعایت نسبت طلایی در طول و عرض iPod نسبت به محصولات مشابه


برش اهرام و نسبت طلایی

و......

 

 


ادامه مطلب
+ نوشته شده در  پنجشنبه سی و یکم فروردین 1391ساعت 15:22  توسط کوثرپرداز  | 

عدد طلایی چهره

عدد طلائی عددیست ، تقریباَ مساوی 1.618 ، که خواص جالب بسیاری دارد ، و بعلت تکرار زیاد آن در هندسه ، توسط ریاضیدانان کهن مطالعه شده است . اشکال تعریف شده با نسبت طلائی ، از نظر زیبائی شناسی در فرهنگهای غربی دلپذیر شناخته شده، چون بازتابنده خاصیتی بین تقارن و عدم تقارن است.

دنیای اعداد بسیار زیباست و شما می توانید در آن شگفتیهای بسیاری را بیابید. در میان اعداد برخی از آنها اهمیت فوق العاده ای دارند، یکی از این اعداد که سابقه آشنایی بشر با آن به هزاران سال پیش از میلاد میرسد عددی است بنام "نسبت طلایی" یا Golden Ratio. این نسبت هنوز هم بارها در هنر و طراحی استفاده می شود . نسبت طلائی به نامهای برش طلائی ، عدد طلائی ، نسبت الهی نیز شناخته می شود و معمولاَ با حرف یونانی ، مشخص می شود.

اگر طول یک مستطیل یا هر شکل دیگر را بر عرض آن تقسیم کردید و به این عدد «1.618»نزدیک بود آن شکل متناسب است مثلا شما یک فرش 12 متری را در نظر بگیرید عرض این فرش 3 و طول آن 4 است حال اگر 4 را بر 3 تقسیم کنید عدد 33/1 به دست می آید که به عدد طلایی نزدیک است پس فرش از نظر شکل هندسی متناسب است

اجسام و اشیایی که با  نسبت طلایی ساخته می شوند دارای تقارن و زیبایی خاصی هستند که از نظر چشم انسان بسیار زیبا جلوه گر می شوند. به همین دلیل بسیاری از طراحان و معماران دنیای قدیم از این نسبت در طراحی بناهای تاریخی استفاده کرده اند که معروف ترین آنها اهرام مصر است.  مجموعه اهرام Giza در مصر که قدمت آنها به بیش از 2500 سال پیش از میلاد می رسد یکی از شاهکارهای بشری است که در آن نسبت طلایی بکار رفته است.

هنرمندان قديمی برای اضافه نمودن حس توازن و شكوه به يك صحنه ، مجسمه يا بنا  مدتها از تركيب تناسب طلايی استفاده كرده‌اند .

اين عدد در صدف‌های دريايی و الگوی دانه‌های گل آفتاب‌گردان و يا ساختار هندسي بازوهای ميله‌ای كهكشانهای مارپيچي موجود در كيهان و يا DNA انسان و نيز گردباد يافت شده است.

امروزه سرنخ‌هايي از اين نسبت طلايي در نانو ذرات ( شاخه نانو تكنولوژي ) بدست آمده است .

 در واقع هم در عالم خرد و هم در عالم كلان اين تناسب بخوبي قابل شناسايي است .

عدد طلايي

-------------------------------------------------------------------------

نحوه محاسبه عدد طلايي

پاره خطی را در نظر بگیرید و فرض کنید که آنرا بگونه ای تقسیم کنید که نسبت بزرگ به کوچک معادل نسبت کل پاره خط به قسمت بزرگ باشد. به شکل توجه کنید. اگر این معادله ساده یعنی

 a2=a*b+b2

را حل کنیم (کافی است بجای b عدد یک قرار دهیم بعد a را بدست

 آوریم) به نسبتی معادل تقریبا” 1.61803399 یا 1.618 خواهیم رسید.

                     ------------------------------

                           A                    B        

                              1.618  = A/B            

                       1.618  = A+B)/A)            

--------------------------------------------------------------------------------

کپلر (Johannes Kepler 1571-1630) ستاره شناس معروف نیز علاقه بسیاری به نسبت طلایی داشت. وی در این مورد می گوید:

 "هندسه دارای دو گنج بسیار با اهمیت می باشد که یکی از آنها قضیه فیثاغورث و دومی رابطه تقسیم یک پاره خط با نسبت طلایی می باشد.
اولین گنج را می توان به طلا و دومی را به جواهر تشبیه کرد".

ادامه مطلب
+ نوشته شده در  پنجشنبه سی و یکم فروردین 1391ساعت 15:10  توسط کوثرپرداز  | 

کاربردهای مختلف نسبت طلایی

مختصری در مورد لئوناردو فیبوناچی

لئوناردو فيبوناچى در سال 1170 در شهر پيزا در کشور ايتاليا به دنيا آمد. پدرش جليلمو بوناچى تاجر بود. پدرش وى را در سال 1192 با خود به بوجيا برد.پدر لئو ناردو وى را براى آموزش کار و تجارت به کشور هاى مصر، سيريا ، يونان ،سيسيل و چند کشور ديگر فرستاد . لئوناردو از اين مو قعيت استفاده کرد و در خلال اين سفر ها با فنون محاسباتى در اين کشورها آشنا شد وآنها را فرا گرفت.
حدود سال 1200 بود که لئوناردو به شهر خودش پيزا بازگشت و پس از آن شروع به کارکردن بر روى سيستم ابداعى خود شد.
پنج کار وى در اين مدت به صورت زير بود:
کار بر روى ليبر آباچى (1228-1202) ، هندسه کاربردى (1220-1221) ، نامه بدون تاريخ به تئودور (1225) ، مجموعه راه حل هاى مس‍‍أله هايى که فردريک دوم به او داده بود(1225) ، کتاب نظريه اعداد که در آن به حل معادله درجه دوم اشاره شده بود. و همين کارها باعث شهرت وى در رياضيات شد.
اتفاقاتى که پس از سال 1228 بر وى اتفاق افتاده است بر کسى روشن نيست و تنها نکته اى که به آن اشاره شده است،اينست که به پاس خدماتى که او انجام داده بود ، از طرف شاه برايش مقررى اى در نظر گرفته شده است.
لئوناردو فيبوناچى چندى پس از سال 1240 و به احتمال زياد در پيزا چشم از جهان فرو بست.

حالا میخوام مسئله ای رو بیان کنم که که فیبوناچی در سال 1200 مطرح کرد و خود او علاقه ی عجیبی به حل آن نشان داد که این بود:

فرض کنید در مدتی این مفروضات برقرار است:

2خرگوش داریم که یکی نر و دیگری ماده هستش ،این دو خرگوش تازه به دنیا اومدند (تولدشون مبارک!) ،هر خرگوش بعد از یک ماه به سن بلوغ می رسه و وقتی به سن بلوغ برسه حتما ً باردار میشه و موت بارداری اون یک ماهه ،بعد از این مدت 2 خرگوش به دنیا می آید که یکی نر و دیگری ماده هستش و در این مدت هیچ خرگوشی نمیمیره ... با این مفروضات بعد از این مدت (مثلا ً یک سال) چند جفت خرگوش داریم؟

جواب این مسئله توسط خود فیبوناچی در کتاب لیبرآباکی اومده که رشته ای از اعداد به شرح زیر است: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233 ,377 ,610 ,987 ,1597 ,2584 ,4181 , 6765 , 10946 , 17711 , 28657 , 46368 , 75025 ,121393 , 196418 , 317811 , ...

ییعنی فرضا ً یعد از یک سال یا همون 12ماه ما 144 جفت خرگوش داریم ... این عدد در طبیعت دقیقا ً درست نیست که علتش مفروضات ما هستش اما در مورد بسیاری از گیاهان صادقهمثلا در کاج البته یعنی تعداد جفتها برابر 2 عدد متوالی این دنباله هستش مثل 13 و21 که یکی به صورت ساعتگرد میچرخه و اون یکی پادساعتگرد ، فقط یه نکته معلوم میمونه اونم این که هر عدد دنباله فیبوناچی از جمع دو عدد قبل به وجود میاد با این فرض که دو جمله اول رو داریم ،اگر این اعداد رو حرف اف و اندیس ا ِن نمایش بدیم داریم:

F (n) = f (n-1) + f (n-2) ; f(1) = 1, f(2) = 1

البته بد نیست اینم بگم که گاهی این دنباله با صفر شروع میشه که به عنوان جمله صفرم آن در نظر گرفته میشه.

حالا بریم کمی با عدد طلایی آشنا بشیم:

در زمانهای قدیم هنرمندانه یونانی به خوبی ریاضیدانان مستططیل طلایی که نسبت طول آن به عرضش برابر نسبت (یا همون عدد) طلایی (یا به قول هنرمندان دوره رنسانس عدد الهی) بود رو میشناختن اگر در کنار این مستطیل مربعی به به ضلع 1 بنا کنیم باز هم مستطیلی با همان نسبت ها به وچود میاد ... یا اگه بخوام کلی تر بگم باید بگم :

فرض کنید پاره خطی در اختیار دارید که اون رو طوری به 2 قسمت تقسیم میکنید که نسبت قسمت بزرگتر به قسمت کوچیکتر برابر نسبت طول کل پاره خط به قسمت بزرگتره ... این نسبت برابر عدد طلایی هستش که تو ریاضی با حرف یونانی فی نمایش داده میشه اینجا هم به علت عدم امکانات ما اینجوری نمایشش میدیم:

Phi = 1.6180339...

حالا شاید بگین خوب این دوتا چه ربطی بهم دارن ... اول این رو بگم که دنباله فیبوناچی به خاطر یه مسئله و در حدود سال 1200 به وجود اومد بدون هیچ ارتباطی با عدد طلایی ، اما عدد طلایی بیش از 2500 سال که توسط هنر مندان استفاده میشه ... از این نسبت او نقاشی ، معماری ، مجسمه سازی ،عکاسی و .. استفاده میشه که به هرکدوم مختصر اشاره ای میشه...

اگر هر عدد دنباله فیبوناچی رو به عدد بعدش تقسیم کنیم با بزرگ شدن اندیس متوجه میشیم که جواب به 0.6180339 میل میکنه و اگه هر عدد رو به عدد قبلش تقسیم کنیم نسبت به 1+0.618033 یا همون عدد طلایی میل میکنه یه طور مثال با تقسیم جمله چهلم بر جمله قبلش به جوابی میرسیم که تا 14 رقم اعشار با عدد طلایی برابر است ،در کل نشان داده شده که میشه جمله عمومی رو اینجوری تقریب زد:

f(n( = (Phi^n) / (5^0.5) ; x^n means n raised to the x power

البته فرمول دیگری با کمی دقت بیشتر وجود داره که اینجوریه:

f(n) = [(phi^n) – ((-phi)^(-n))] / (2phi -1)

Note: 2Phi-1 = 5½= The square root of 5

حالا با چندتا راهه دیگه برای بدست آوردن عدد طلایی آشنا میشیم:

با توابع مثلثاتی هم میشه عدد طلایی رو بدست آورد:

Phi = 2 cosinous (pi / 5) or 2 sinous (pi / 5)=(3 – Phi)^0.5

Note : Pi=3.141592654…

با توابع هیپربولیکی به صورت زیر میشه عدد طلایی رو بدست آورد:

Phi = exp{sinh (.5)}

Note : sinh(a) = 0.5(exp (a) – exp(-a)) & exp (a) = e^(a) & e=2.718281828… عدد طلایی همونطور که ناگفته معلومه عدد اصم یا همون گنگ هستش یعنی تا به حال این عدد به طور کامل پیدا نشده و نمیشه ، پس میشه انتظار داشت که تعریف حدی هم برای این عدد موجود باشه ... دو تعریف حدی زیر در مورد عدد طلایی وجود داره:Image and video hosting by TinyPic

 

 

و در مورد اعداد دنباله فیبوناچی داریم:

f(n-1) * f(n+1) = [f(n)]^2 - (-1)^2

در مورد دنباله فیبوناچی عدد اِن را در نظر بگیرید که عدد اِم مضرب آن باشد حال میشه گفت که جمله اِمُم دنباله فیبوناچی مضرب جمله اِنُم این دنبالست ... فکر کنم گیجتون کردم ... منظورم اینه که جملات سوم ، ششم ،نهم،دوازدهم و... مضرب جمله سومند و جملات چهارم ،هشتم ، دوازدهم ،شانزدهم و... مضرب جمله چهارمند واین نظم هم در مورد هر عددی به جای سه یا چهار برقراره.

بازم به این نکته اشاره میکنم که این همه روابط برای یه عدد و یه دنباله از اعداد هستش که بدون هیچ ارتباطی با هم به وجود اومدند و این نظم مربوط به دنباله فیبوناچی پیش بینی نشدست
تو این قسمت اول با مارپیچ فیبوناچی و یکی از روشای رسم دستی که معمولا ً تو هنر کاربرد داره آشنا میشیم و بعدش بعضی از نشونه های عدد طلایی تو طبیعت و بدن انسان ذکر میشه و در قسمت بعد در حورد نشونه های عدد طلایی تو هنر صحبت میکنیم... (فقط تو پرانتز این رو بگم که اسم اصلی دانشمندی که در موردش بحث کردم لئوناردو پیتزا هستش و به لئوناردو فیبوناچی ( یعنی لئوناردو فرزند بوناکیو) مشهوره) ... امیدوارم خوشتون بیاد

خوب مطلب رو با یه جمله از یوهان کپلر ،یکی از منجمان معروف که علاقه ی زیادی به نسبت طلایی داشت ،شروع میکنم :" هندسه دارای دو گنج بسیار با اهمیت می باشد که یکی از آنهاقضیه فیثاغورث و دومی رابطه تقسیم یک پاره خط با نسبت طلایی می باشد. اولین گنج را می توان به طلا و دومی را به جواهر تشبیه کرد"

تحقیقاتی که کپلر راجع به مثلثی که اضلاع آن به نسبت اضلاع مثلث مصری باشه به حدی بود که امروزه این مثلث به اسم مثلث کپلر هم معروفه.همچنین کپلر به روابط بسیار زیبایی میان اجرام آسمانی و این نسبت طلایی رسید، بد نیست به این موضوع اشاره کنم که علت اصلی شهرت کپلر به خاطر سه قانون معروفیه که در مورد اجرام آسمانی داد.

خوب اول ببینیم مارپیچ فیبوناچی چیه؟؟؟ تو قسمت قبل با مستطیل طلایی آشنا شدیم و گفتیم که نسبت دو عدد متوالی دنباله فیبو ناچی با بزرگ شدن اندیس با عدد طلایی میل میکنه ... حالا میخوایم این دو مورد رو به تصویر بکشیم ... مربع هایی رو اختیار میکنیم که طول ضلع اونا اعداد دنباله فیبوناچی باشه و اونا رو پادساعتگرد کنار هم میذاریم ... یعنی یه جوری که انگار این مربع ها دارند بر خلاف جهت حرکت عقربه های ساعت دور اولین مربع میچرخند، به نقاط قرمز شکل توجه کنید .. حاصل یه چیزی مثل شکل زیر ... البته این فقط برای نه جمله اوله


حالا فرض کنید اگه این مربع ها جای نه تا بیشتر بشن شکل حاصل چی میشه!!!؟؟؟ درسته ... یه چیزی شبیه کهکشان راه شیری ... در ضمن این مستطیلها هم هرچی بزرگتر میشه به سمت مستطیل طلایی میل میکنه ... جالبه ... حالا شروع به رسم کمانهای 90 درجه ای میکنیم که که شعاع اونا به اندازه اضلاع مربع ها یا همون اعداد دنباله فیبوناچیه ... حالا حاصل چیه ؟؟؟ اینه

حالا شاید بگین اینا چیه؟؟؟ به اون مارپیچ آبی رنگ میگن مارپیچ( یا اسپیرال) فیبوناچی (یا اسپیرال لگاریتمی یا اسپیرال قائم الزاویه یا مارپیچ طلایی (همون گلدن اسپیرال)) ... یه چیزی رو دقت کنید اونم اینکه اگر نقاط قرمز که تو شکل اول اومده رو یکی در میون به هم وصل کنید خطوطی مثل خطوط سبز و قرمز تو شکل دوم به وجود میاد که نقطه تلاقی این خطوط ابتدای دنباله فیبوناچیه ... و اولین مورد جالب ... من عکسش رو گذاشتم ... این مارپیچ منطبق بر شکل گوش انسان هستش و گوش انسان در یک مستطیل طلایی هستش ... جالبه


 

البته این یه راه برای رسم دستی مارپیچ فیبوناچی هستش ولی حقیقت قضیه اینه که اگه اسپیرال لگاریتمی (من همه اسماش رو به کار میبرم تا همش رو یاد بگیرید!!!) کامل رسم بشه نه سرش معلومه نه تهش ... منظورم اینه که از دو طرف تا بینهایت پیش میره ... از يه طرف هیچ وقت به مرکز نمى رسيم و ازطرف دیگه هم هیچوقت به آخرش نمى رسيم. هسته اسپيرال لگاريتمی رو وقتى با ميکروسکوپ ببینیم همون منظره اى رو داره که وقتى به اندازه هزاران سال نورى به جلو مى ريم، داره... در واقع از رسم بالا میشه تو طراحی های هنری استفاده کرد که تقریبا ً حاصلش اسپیرال لگاریتمیه ... جدیدا ً تو شاخه های نانو تکنولوژی هم یه چیزایی از این نسبت طلایی و اسپیرال لگاریتمی بدست اومده ... حالا بریم ببینیم کجاها این حرفایی که گفتیم به کار رفته :

در زندگی دانشمندان:

فيثاغورث براى تشريح نظم، مجموعه اى شامل 5 ستاره رو انتخاب کرد که هر کدوم نسبت به ستاره کوچیک تر از خودش براساس نسبت طلايى بود. رياضى دان معروف قرن هفدهم، جاکوب برنولى اسپيرال طلايى رو روى سنگ قبرش حکاکى کرد. اسحاق نيوتن اسپيرال طلايى مشابهى رو بالاى تخت خوابش حکاکى کرد (اين تختخواب الآن تو انجمن تحقيق روى جاذبه زمين تو نيوبوستن هستش.)

در طبیعت:

ديويد برگامينى تو کتاب رياضياتش مى گه که منحنى ستاره هاى دنباله دار از خورشيد کاملا ً شبيه به اسپيرال لگاريتميه. عنکبوت شبکه تارهاى خودش رو به صورت اسپيرال لگاريتمى مى بافه. رشد باکترى ها دقيقاً براساس رشد منحنى اسپيرال هستش. وقتی که سنگ هاى آسمانى با سطح زمين برخورد مى کنه، مسيرى شبیه اسپيرال لگاريتمى رو طى مى کنه.

ميوه درخت کاج، اسب هاى آبى، صدف حلزون ها، صدف نرم تنان، موج هاى اقيانوس ها، سرخس ها، شاخ هاى جانوران و چيدمان گل مرواريد همه به صورت اسپيرال لگاريتمى هستش. گردباد و منظومه ها از نگاه بيرون کاملاً تو مسيرى به صورت اسپيرال حرکت مى کنند اما یکی از جالبترین مثال ها و تقریبا ً معروفترین مثالها تو طبیعت ، گل آفتابگردونه، دانشمندا بعد از شمارش تعداد مارپیچ های موجود تو سر گل آفتابگردون فهمیدند که یه دسته از مارپیچ های کوچیک از داخل به طرف بیرون در جهت حرکت عقربه های ساعت و مارپیچ های بزرگ در خلاف جهت عقربه های ساعت وول میخورند و موج زیبایی که ما در سر گل آفتابگردون میبینیم حاصل همین وول خوردن منظم در ضمن تو این گل این رابطه برقراره که تعداد اعضای تشکیل دهنده جفتها همیشه به اعداد دنباله فیبوناچی نزدیکه مثلا ً یه جفت میتونه 21و34 و جفت بعدی میتونه 34 و 55 باشه که نسبت این اعداد به عدد طلایی میل میکنه.



 

اما در مورد دی.ان.ای ، مولکول دی.ان.ای از دو زنجیر پلی نوکئوتیدی ساخته شده. بین بازهای آلی آدنین و تیمین 2 پیوند هیدروژنی و بین بازهای آلی گوانین و سیتوزین 3 پیوند هیدروژنی وجود داره. مطلب جالب در مورد دو رشته پلی نوکلئوتیدی سازنده مولکول دی.ان.ای اینه که هر کدوم از این دوتا رشته 34 آنگستروم طول و 21 آنگستروم پهنا داره که این اعداد و تعداد پیوند ها اعداد دنباله فیبوناچی اند (جهت اطلاع اونایی که نمیدونن بگم که اگه میخواین بدونین یه آنگستروم چقدره ، برید یه متر به طول یک متر بردارید و اون یه متر رو ده میلیارد قسمت کنید (!!!) هر قسمت برابر یه آمگسترومه!!!) ... جالبه در مرد حیوانات میشه مثالهای زیر رو هم نشون داد (نسبت طول این چنگکا برابر عدد طلایی هستش)

 

 

در بدن انسان:

یکیش رو که بالا دیدید ... همون گوش رو میگم ... به انگشای خودتون نگاه کنید ... 2 دست ، 5 انگشت ، سه قسمت مجزا که با دو بند جدا شدند ... اینا یعنی اتفاقیه ... این یکی رو چی میگید ؟ اگر استخوان های انگشت دستتون رو اندازه بگیرید متوجه میشید که طول نسبت طول بزرگترین استخوان انگشت به طول استخوان متوسط برابر نسبت طلایی هستش ونسبت طول استخوان متوسط به استخوان کوچیک هم همینطوره ... بازم اتفاقیه؟؟؟

به طور کلی نسبت طلایی تو بدن انسان زیاده مثل:

نسبت قد انسان به فاصله ناف تا پاشنه پا

نسبت قاصله نوک انگشتان تا آرنج به فاصله مچ تا آرنج

نسبت فاصله شانه تا بالای سر به اندازه سر

نسبت فاصله ناف تا بالای سر به فاصله شانه تا بالای سر

نسبت فاصله ناف تا زانو به فاصله زانو تا پاشنه پا اینا مثالایی بود که تابلو هستش ... تو عکس زیر میتونین مثالای بیشتری رو پیدا کنید (نسبت ام بزرگ به ام کوچیک برابر نسبت طلایی هستش)


 در مورد اون مثلث قائم الزاویه که سمت چپ پایین تصویره باید بگم که اونم یکی از راههای بدست آوردن نسبت طلایی هستش .... کلا ً چندتا راه داره که اگه کسی فکر کرد به کارش میاد بگه اونا رو براش بگم ولی فکر نمیکنم به کار کسی بیاد !!! مثلا ً تا حالا فکر کردید که چرا اغلب وقتی میخواین مثلث بکشین یه شکل 5 سر میکشید؟؟؟ دلیلش نسبت طلایی که تو یکی از اون روشای رسم بدست میاد.... این نسبتا که تو بدن انسان باعث میشه بدن انسان از نظر ساختار کاملا ً زیبا به نظر برسه به شکل زیر دقت کنید ( این دو تا چنگکا که میبینید نسبت طولشون برابر عدد طلایی هستش)
نشانه های عدد طلایی در هنر:

پرگار جالبی که ضمن حفاری در پمپی ، یکی از شهرهای ایتالیا ، در کارگاه یک مجسمه ساز پیدا شده است ، دال بر اونه که یونانی ها و رومی ها نه تنها از عدد طلایی آگاهی داشتند بلکه از اون تو عمل هم استفاده می کردند این پرگار که هم اکنون در موزهی ناپل نگه داری میشه طولی برابر 146 میلیمتر داره و به وسیله ی لولا به دو بازوی خود با طول های 56 و 90 میلیمتر تقسیم شده که نسبت این دو عدد به عدد طلایی نزدیکه. تو هنر محشر معماری که ناگفته معلومه این عدد چقدر کاربرد داره ... حدود 2500 ساله که از این عدد تو معماری استفاده میشه به طور مثال در بسیاری از معبد های یونانی ، میشه بارها این نسبت رو تو بناها پیدا کرد مثلا ً در معبد پارتئون (معبد دختر) که در بین سالهای 447 تا 338 پیش از میلاد مسیح تو آکروپولیس تو آتن ساخته شده و عظیم ترین یادگار هنر معماری یونان باستان هستش، نسبت ارتفاع تمامی ساختمان به طول تیر بزرگ برابر عدد طلایی است ... به تصویر زیر هم دقت کنید متوجه میشید که اگه از بالا به بنا نگاه کنید چندین مستطیل طلایی تو بنا وجود داره در ضمن اگرمستطیل محیط بر نمای بیرونی این بنا روتجسم کنید متوجه میشید که اونم مستطیل طلایی هستش....

در قرون وسطا برای نسبت طلایی مفهومی عرفانی و خرافی قائل بودند. معماران قرون وسطا رازهای مربوط به پیدا کردن نسبت ها از جمله نسبت طلایی رو با دقت از دیگران پنهان میکردند ،از جمله اوسقف شهر اوترخت به این دلیل که با حیله تونسته بود به روش یافتن نسبت ها تو ساختمان کلیسا ها پی ببره ، جان خودش رو از دست داد. از جمله آثار قرون وسطا که عدد طلایی تو اون به چشم میخوره میشه به یکی از شاهکارهای معماری سده ی دوازدهم میلادی ، کلیسای اوس پنسکی در چرنیگوف (جمهوری اوکراین) اشاره کرد که اگه نسبت اندازه ها تو قسمت های مختلف رو کلیسا رو محاسبه کنیم همه جا به تقریب به عدد طلایی میرسیم.

اما بریم به مصر .. اثر معروف اهرام مصر که یکی از قدیمی ترین آثار ساخت دست بشر است، در این هرم ،نسبت وتر مثلث قائم الزاویه ای که با نسبت های این هرم شکل گرفته به ضلع همکف مثلث (معادل نصف ضلع مربع کف هرم) برابر عدد طلایی است. به شکل دقت کنید
Image and video hosting by TinyPic
 
طول متر برای هرم واقعی حدود 356 متر و طول ضلع مربع قاعده حدودا ً 440 متر هستش یعنی طبق شکل بالا ما باید نسبت 356 به 220 (نصف ضلع مربع) رو حساب کنیم که میشود 1.618 که تا سه رقم اعشار با عدد طلایی تطابق داره . در هرم ریم پاپیروس نیز که در اهرام ثلاثه میباشد نیز نشانه های عدد طلایی یافت شده... تو هنر نقاشی هم به وفور نسبت طلایی یافت میشه ... یادم وقتی داشتم کتاب معنی هنر رو میخوندم عکس یه نقاشی توش بود که به طرز افراطی از این نسبت استفاده کرده بود ولی در کل کاره جالبی بود اما متاسفانه اسم اون اثر خاطرم نیست ... اما در کل میشه فضای بوم رو با توجه به نسبت طلایی به هرچنتا مستطیل دلخواه تقسیم کرد اینطوری زیبایی کار خودش بیشتر جلوه میده ... همچنین میشه از نقاط طلایی که تو قسمت عکاسی توضیح میدم هم تو نقاشی استفاده کرد ... به تابلوی معروف زیر نگاه کنید و ببینید چندین مستطیل طلایی تو این اثر معروف به کار رفته

بعضی از هنرمندای مجسمه ساز هم از این نسبت استفاه میکنند ... به طور مثال برای تقسیم بندی نقاط مختلف صورت میشه از نسبتهای طلایی که در بالا گفتم استفاده کرد اینجوری هم کار طبیعی تر جلوه داده میشه هم به چشم ناظر زیباتر دیده میشه که همش تاثیر عدد طلایی هستش ...

در موسیقی هم عدد طلایی یافت شده ... به طور مثال سر و حلقه ویلن در مستطیل طلایی قرار میگیرد و کاسه آن از دوایری تشکیل شده که نسبت قطر اونا عدد طلایی هستش ... زمانی صدای ساز زیبا جلوه میکنه که نسبت دامنه امواج صوت به عدد طلایی میل کنه ... هنوز فکر میکنید اینا اتفاقیه؟؟؟ و اما در خوشنویسی ، استاد میر عماد با تغییراتی که تو خطوط پیشینیان انجام داد و اضافات و ناخالصی ها رو از پیکره نستعلیق حذف کرد تونست انقلابی ایجاد کنه اما دلیل این انقلاب چی بود؟؟؟ استاد میرعماد نسبت های اجزای حروف و کلمات رو به درجه ی اعلای زیبایی یعنی نسبت طلایی نزدیک کرد . با بررسی اکثریت قاطع حروف و کلمات استاد کتوجه میشویم که این نسبت به عنوان یک الگو تو تار و پود حروف و واژه ها وجود داره و زاویه 63.448 درجه که مبنای ترسیم مستطیل طلایی است ، در شروع قلم گذاری و ادامه رانش قلم حضوری تعیین کننده داره.این کارها قطعا ً نتیجه شعور و حس زیبایی شناسی استاد میر عماد هستش نه آگاهی از از فرمول تقسیم طلایی و دیدگاه هندسی و علوم ریاضی (یادم یه جا خوندم که اگه یه کاغذ سفید بدیم کسی و بگیم یه مستطیل بکش ، تو اغلب موارد این نسبت اضلاع این مستطیل به عدد طلایی نزدیکه چون ذهن ما به طور ناخودآگاه اینو میخواد... من خودم اینو امتحان کردم ... مستطیلی که طرف مقابل برام کشید تا 3 رقم اعشار با عدد طلایی یکسان بود ... ) همچنین استاد میر عماد این نسبتها رو تو فاصله بین دو سطر و مجموعه دو سطر چلیپاها و کادرهای کتابت و قطعات رعایت کرده.

 

و اما در عکاسی ، ترکیب بندی تصویر، در کتابها و مجلات تخصصی عکاسی، اغلب به شکل یه نسخه تجویزی ارائه میشه انگار که پیروی از تعدادی قاعده میتونه نتیجه قانع کننده ای رو تضمین کند شاید بهتر باشه این قواعد رو تنها به عنوان چکیده ایده هایی در نظر بگیریم که عکاسان البته نقاشان و سایر هنرمندان( قرنها پیش از اختراع دوربین)اونا رو برای خلق یه تصویر تاثیر گذار، مفید میدونستند.

هر ترکیب بندی عکسی رو میشه کارآمد دونست به شرط این که عناصر صحنه به طور موثر با بینندهای اون عکس، ارتباط برقرار کنند. تو اغلب موارد، نکته اساسی در شناسایی عناصر کلیدی صحنه نهفته شده تا با تنظیم محل دوربین و میزان نور دهی، آنها رو از دل سایر اطلاعات تصویری متفرقه، بیرون بکشیم. همین اشیاء اگه جای درستی قرار نگیرن، بسیاری از عکسها رو خراب میکنن. اگر عکاسی رو تازه شروع کردیم، بهتره به جای تمرکز زیاد روی جزییات خیلی خاص، تنها روی ساختار کلی صحنه تمرکز کنیم. چرا که تاثیر اونا در مقابل ترکیب بندی عمومی عکس، بسیار سطحی هستش.

حالا اینجا با یه قاعده اساسی عکاسی آشنا میشیم ... قانون تعادل (یا گلدن مین) ، در واقع این قانون یه فرمول هندسی هستش که یونانی ها اون رو ابدا کردن. استدلال کلی اینه که ترکیب بندی که بر اساس این تئوری باشه تاثیر گذار هستش و کار قوی به نظر میرسه ، ایده اصلی این تئوری استفاده از خطوط هندسی هستش که به راحتی با چشم دیده و دنبال میشه ... قرنهاست که هنرمندان از این قاعده استفاده میکنند ولی چون درکش با عکاسی برای همه ساده تره منم از عکاسی کمک گرفتم و این قسمت و نوشتم ... حالا به مفهوم قانون تعادل تو قانون یک سوم میرسیم

قانون یک سوم یا همون خطوط و نقاط طلایی :

قانون یک سوم در واقع مختصر شده مفهوم طلایی هستش. فلسفه اصلی که در پشت این مفهوم قرار داره از یه ترکیب و کادر بندی متقارن و مستقر در مرکز کادر که معمولا کسل کننده هستش جلوگیری می کنه. چهار خط تقسیم کننده کادر ، خطوط طلایی و محل برخورد این خطوط نقاط طلایی هستش ... این رو در نظر بگیرید که اعداد یک ، دو و سه اعداد متوالی دنباله فیبو ناچی اند... به تصویر دقت کنید تا نقاط طلایی و خطوط طلایی رو پیدا کنید
از بین بردن تقارن با استفاده از قانون یک سوم به دو شکل انجام میشه ... یکی اینکه تصویر رو به دو بخش مجزا تقسیم کنیم که در واقع از خطوط طلایی کمک میگیریم ... به تصویر نگاه کنید ... Image and video hosting by TinyPic روش دوم با استفاده از نقاط طلایی به کار میاد ... این روش معمولا ً زمانی استفاده میشه که روش اول غیر قابل استفاده باشه ... به طور مثال فرض کنید منظره زیبایی رو دارین میبینین اما این منظره نمای هندسی جالبی مثل شکل بالا نداره ... تو این حالت روش دوم استفاده میشه ، فقط باید یه نقطه عطف تو تصویرمون پیدا کنیم و اون رو روی نقطه طلایی بندازیم ... اینجوری نظر مخاطب اول جذب اون نقطه عطف میشه و بعدش به دیدن کل تصویر ترغیب میشه ... به شکل دقت کنید
 

ایده قانون یک سوم از یکی از روشهای رسم مستطیل طلایی و محاسبه عدد طلایی میاد که مصریان باستان از اون استفاده میکردند گرفته شده ...

تو جاهایی هم که هیچ کدوم از راههای بالا به کار نمیاد ، گاهی از روش سومی استفاده میشه که استفاده از اسپیرال لگاریتمیه که سعی میشه سوژه ها به نوعی روی این مارپیچ یا دوران یافته اون بیفته که زیبایی عکس رو حفظ میکنه.

…..

بله ... اینا فقط اونایی بود که من تو چندتا منبع دیدم و قبلا ً خونده بودم ، حتی مطمئنا ً خیلی موارد هست که هنوز کشف نشده ...

تامپ کينز ميگه: شولرد لابيز از اقوام مصرى نقل قول مى کند که فى يک عدد نيست بلکه يک سمبل است از تابع آفرينش، سمبلى براى سرى بى پايان توليد مثل. چرا که حرکت و تعداد اسپرم هاى مردان براساس نسبت فى است. براى آنها فى نماد آتش زندگى است.

وقتى مطالعه مى کنيم و به طور عميق مى انديشيم مى بينيم اين افراد چيزى را که مى گفتند نمى توانستند با حواس پنج گانه درک کنند. آنها نمودار يا قواعد موجى نداشتند تا رشد الگوى طبيعى را روى آن به صورت آشکار ببينند. اگر اين فيلسوف هاى باستانى معتقد بودند ساختار جهان داراى نيروى مرموزى است که بر آن حکومت مى کند و آن را منظم نگاه مى دارد درست مى گفتند، نبايد نيرويى مرموز وجود داشته باشد تا بر مردم حکومت کند و آنها را منظم نگاه دارد؟ اگر همان طور که گفته شد بدن،مغز مردم و دی.ان.ای آنها تابعى از فى هست نمى توان گفت که عملکرد آن ها نيز تابعى از فى هست؟ اگر پيشرفت بشر بر مبناى ساخت و بازيافت بر اساس يک سرى بى پايان است دليلى داريم که بر اساس اسپيرالى بر مبناى فى حرکت نکند؟ به عبارت ديگر اگر فى سمبلى از خلقت بشر است شايد بتوان گفت که سمبلى از عملکرد آن ها نيز هست. اين مفهوم است که به دنيا و کاينات ساختار مى دهد و آن را يکپارچه مى کند ... به معناى کلمه يونيورس (کاينات) یعنی مجموعه منظم و يکپارچه هست دقت کنید

….

و این است زیبایی ریاضی و دلیلی علاوه بر هزاران دلیل دیگر بر وجود خالقی که حتی نمیتونیم نظم مخلوقاتش رو تصور کنیم ... کمی به خالق این جهان منظم فکر کنیم
 
تهیه و تنظیم : میلاد اخلاقی
+ نوشته شده در  پنجشنبه سی و یکم فروردین 1391ساعت 15:5  توسط کوثرپرداز  | 

نسبت طلایی و مستطیل طلایی

+ نوشته شده در  پنجشنبه سی و یکم فروردین 1391ساعت 15:3  توسط کوثرپرداز  | 

باز هم نسبت طلایی

نقد اثر های هنری شما توسط عدد فی 1.61803
همه ما خواهان زیبائی هستیم هر چیزی که به نظر ما زیبا باشد در چار چوب این قائده قرار دارد.
برای آشنائی دوستان اجمالا مطالبی با عکس برای فهم بهتر بیان میشود ودر انتها سه نرم افزار برای دانلود گذاشته میشود تا با آنها دوستان بتوانند
آثار همدیگر را نقد وبررسی نمایند
در انتهای آموزش دوستان آثار خود یا آثار دیگران را قرار دهند و افراد نسبت به مطالعه این مقاله ان اثر را نقد وبررسی کنند
من با نرم افزار مذکور اثر دوستم شبنم را مورد بررسی عدد فی قرار دادم ولی به علت اجازه نداشتن از وی فقط به نمایش اثر و کارکرد نرم افزاربسنده میکنم و در مورد کم وکیف زیبائی شناختی ان صحبتی نمیکنم

اهداف پژوهش
هدف کلّی
می خواهیم بدانیم که دنباله فیبو ناتچی و نسبت طلایی چیست ؟
اهداف جزیی
1- زندگی نامه فیبوناتچی را بدانیم.
2- دنباله فیبوناتچی را بشناسیم.
3- چگونگی بدست آوردن نسبت طلایی را بفهمیم.
4- کاربردهای نسبت طلایی را در طبیعت و علوم دیگر بررسی کنیم.
سوالات پژوهش
1- چگونه می توان به نسبت طلایی دست یافت؟
2- چگونه می توان از آن استفاده کرد ؟
فرضیه های پژوهش
1- فیبوناتچی احتمالا با برخورد به یک مساله به دنباله خود دست یافت.
2- نسبت طلایی احتمالا از سری فیبوناتچی بدست می آید.
3- شناخت کاربردهای این نسبت احتمالا تاثیر مثبتی در کارآمدی علوم خواهد داشت .

تنبلها نگویند هنر با ریاضی تناسب ندارد بلکه هر دو جدا ناپذیرند

فصل1: پیش نیازها:
در مسیر تحقیق به نکاتی برخورد کردیم که لازم دانستیم برای گویاتر شدن و مفیدتر بودن گزارش، ابتدا آنها را توضیح دهیم ( جذر، نسبت، دنباله، حد و...)
جذر
می دانیم هر عددی که در خودش ضرب شود، می گوییم مجذور شده است یا به توان 2 رسیده است.
مثال: 9=3×3 ، 25=5×5 ، 49=7×7
حال اگر عکس این مسیر را برویم یعنی جذر گرفته ایم که نماد آن " √ " است و رادیکال نام دارد.
مثال:3=9√ ،5=25√ ، 7=49√
حال جذر عددی مثل : 20√ را که مجذور یک عدد صحیح مشخصی نیست ، اینگونه بدست می آوریم:
20 را مساحت مربعی فرض می کنیم که طول ضلع آن برای ما مجهول است و a نام دارد . حال در این مربع، مربع دیگری در نظر می گیریم که مساحت آن نزدیک ترین عدد مجذور قبل از 20 باشد. مثلا: 16 که طول ضلع این مربع 4 می باشد .


4

دو ضلع این مربع را در داخل مربع بزرگ ادامه می دهیم تا ضلع های مربع بزرگ را قطع کند. اینک دو مسطتیل کوچک بدست می آید و مربع کوچکی در کنار که آن را هاشور می زنیم و به حساب نمی آوریم. حال دو مسطتیل داریم که مجموع مساحت آن ها و مساحت مربع وسط برابر با 20 خواهد شد؛ یعنی : a=x+4
4x+4x+16=20
8x=4 a
X=4/8 x
X=0.5
a=4.5
√20=4.5
روش دیگر پیدا کردن 20√ ، این است که دو عدد مجذور یکی کوچکتر و دیگری بزرگتر از 20 را در نظر بگیریم ، مثل: 25 و 16
5=25√ و 4=16√ پس 20√ باید این دو باشد؛ یعنی 5/4

دنباله
اگر به هر عدد طبیعی یک مقدار نسبت دهیم و این مقادیر را به صورت پی درپی در کنار هم بنوسیم، به یک دنباله می رسیم.
مثال : { ...، 49 ، 36 ، 25 ، 16 ، 9 ، 4 ، 1 }
در دنباله مذکور نسبتی که به هر جمله داده شده توان 2 است؛ یعنی 1 را به توان 2 رساندیم و 1 شده و 2 به توان 2 ، 4 شده است و ... .
نسبت
نسبت یعنی تقسیم عدد a بر b (a/b ) به شرطی که b=0 نباشد؛ چون در ریاضی ما اعداد را بر 0 تقسیم نمی کنیم.
حد
حد یک عبارت یعنی اینکه جوابی که برای آن عبارت بدست می آوریم کاملا عدد مشخصی نیست بلکه جواب تقریبی است و به یک عدد نزدیک است .
مثال : 1.6


فصل2: دنباله فیبوناتچی:
زندگی نامه فیبوناتچی
فیبوناتچی در شهر پیزا در ایتالیا متولد شد. در طول زندگی او ساختن برج خمیده پیزا شروع شد. او یکی از با استعدادترین ریاضیدانان قرون وسطی است که در آ ستانه قرن 13 وارد عرصه علم شد. یکی از مشهور ترین آثار او به " حساب و جبر مقدماتی " اختصاص دارد. آثار او شامل مجموعه وسیعی از مسایل است که به عنوان گنجینه ای تا قرن ها در خدمت مولفین بعدی بود. راجع به هندسه و مثلثات در هندسه تحلیلی نیز مطالبی ارائه داده است.
مساله فیبوناتچی
فیبوناتچی در سال 1202 کتابی در مورد حساب و جبر نوشت و مساله زیر را مطرح نمود:
یک زوج خرگوش، یک ماه جوان تر از این هستند که خرگوش دیگری به وجود بیاورند. اما فرض کنید از ماه دوم هر ماه، یک زوج خرگوش متولد شوند. اگر هر زوج جدید از خرگوش ها دباره پس از یک ماه تولید مثل را آغاز کنند و هیج یک از خرگوش ها نمیرند، در آغاز هر ماه چند زوج خرگوش وجود خواهد داشت .

دنباله فیبوناتچی
این دنباله تشکیل شده از یک سری اعداد که هر عدد برابر است با مجموع دو عدد قبلی. این دنباله با دو عدد 1 شروع می شود :{ ... ، 233 ، 144 ، 89 ، 55 ، 34 ، 21 ، 13 ، 8 ، 5 ، 3 ، 2 ، 1 ، 1 }
این دنباله در درخت اجداد زنبور نر نیز ظاهر می شود. هر زنبور نر فقط مادر دارد و پدر ندارد، اما زنبور ماده هم پدر و هم مادر .


فصل3: نسبت طلایی بین اعداد در دنباله فیبوناتچی
800 سال پس از بو جود آمدن دنباله فیبوناتچی، سازمان و مجله ای به نام " فیبو ناتچی کوارترلی " خود را وقف پی بردن به کشفیات جدید در رابطه با این دنباله نمود.
نسبت هر جمله به جمله قبل خود یعنی ( لازم به ذکر است n و n-1 ، اندیس می باشند) ، نسبت طلایی می باشد که حدودا برابر است با: 6/1
که این عدد را عدد " فی " با عدد طلایی گو یند .
چگونگی پیدا کردن عدد طلایی از طریق تجربی
هر عدد ار دنباله فیبوناتچی را به عدد قبلش تقسیم کردیم و نتایج را یادداشت نمودیم :
، ، ، ،
حال می بینیم که حاصل نسبت ها به عدد 1.6 که همان عدد طلایی است نزدیک است و هر چه این نسبت را بین اعداد بزرگتر این دنباله می گیریم به عدد 1.6 نزدیکتر می شویم.

فصل4: کاربرد
وفور نسبت طلایی در کل طبیعت محققان سایر رشته های علوم را مجاب کرد تا رابطه ای بین این اعداد و رشته علمی خود بیابند.
هم اکنون از سری فیبوناتچی در شاخه های مختلف علوم مانند معماری، هنری، کامپیوتر، فیزیک، ساختن ادوات و ابتکارات، تحلیل پراکندگی حشرات، تحلیل رفتار قیمت سهام و ارزها در بورس، ستاره شناسی و ... استفاده می شود.
کاربرد در طبیعت
1- در شمار مارپیچ ها، در گل آفتاب گردان و میوه کاج و آناناس
در یک گونه خاص گل آفتاب گردان، گل ها دارای دو سیستم مارپیچ هستند که هر دو از مرکز شروع می شوند. 55 مارپیچ در جهت ساعت و 34 مارپیچ در جهت عکس است. البته مشابه همین شمارش در گل های گل مروارید وجود دارد که 21 مارپیچ در یک جهت و 34 مارپیچ در جهت دیگر می باشد.



یک میوه کاج دارای دو مارپیچ 5 تایی و 8 تایی است و در آناناس مارپیچ های 5 تایی و 8 تایی و 13 تایی وجود دارد. این مارپیچ ها در شاخ ها و پنجه ها و دندان های حیوانات دیده می شود. اعداد بالا از سری فیبوناتچی می باشد.
2- در بسیاری از گل ها مثل گل های آلاله و حنا ( 5 گلبرگ ) ، سوسن ( 3 گلبرگ ) ، گل همیشه بهار (13 گلبرگ ) و گل مینا ( 21 گلبرگ ) ، تعداد گلبرگ ها دنباله فیبوناتچی را تشکیل می دهند.

3- ساختار مارپیچ حلزون نیز از نسبت طلایی تبعیت می کند و ما نیز می توا نیم مارپیچ های زیبایی مثل مارپیچ های حلزون رسم کنیم.
4- نسبت فاصله های دایره هایی که روی بال پروانه هستند برابر با نسبت طلایی می باشد.




کاربرد در معماری
1- معماری کهن
در ساخت مساجد قدیمی : ایران- امام اصفهان و مسجدترکیه -ابا صوفیه
و هند-تاج محل






بنای پارنتون در یونان به صورت نا خودآگاه از نسبت طلایی استفاده شده است

در مستطیل هایی که در بنای پارنتون یونان استفاده شده نسبت طول به عرض برابر عدد طلایی است.






پلان ساختمان




در مثلثهایی که در اهرام مصر استفاده شده نسبت طول ضلع قاعده به ارتفاع برابر با عدد طلایی است








2- معماری نوین:
الف: برج میلاد: این برج 435 متر ارتفاع از 5 قسمت اصلی تشکیل شده و شامل یک هسته مرکزی تو پر و 8 دیوار مایل است ( عدد 5 و 8 از اعداد فیبوناتچی )
ب: برج آزادی : این برج در سال 1350 ساخته شد. طول 63 متر و عرض آن 22 متر است که نسبت این دو عدد برابر با 1.5 می باشد که به عدد طلایی نزدیک است.
البته تصویر زیر مربوط به برج تورنتو کاناداست


ج: پل ورسک : دارای بلندی 110 متر و طول قوس 66 متر می باشد که نسبت آن ها 1.6 است.


کاربرد در هنر :
الف:خوشنویسی : استاد میر عماد نسبت طلایی را به عنوان یک الگو در تار و پود حروف و واژه ها رعایت کرده است و زاویه 63.448 درجه که مبنای ترسیم مستطیل طلایی است ( نسبت طول به عرض این مستطیل 1.6 است )، در شروع قلم گذاری و ادامه رانش قلم به کار گرفته است. البته این نسبت ها را نه تنها در اجزای حروف بلکه در فاصله دو سطر و کادرهای کتابت و قطعات رعایت کرده است.

ب: کاربرد در نقاشی: لئوناردو داوینچی در ترسیم نقاشی معروف خود از بدن انسان از نسبت طلایی بهره گرفته است.




جاهایی که در بدن انسان دارای نسبت طلایی اند عبارتند از
نسبت قد انسان به فاصله ناف تا پاشنه پا
نسبت فاصله نوک انگشتان تا آرنج به فاصله مچ تا آرنج















نسبت فاصله شانه تا بالای سر به اندازه سر
نسبت فاصله ناف تا بالای سر به فاصله شانه تا بالای سر
نسبت فاصله ناف تا زانو به فاصله زانو تا پاشنه پا.
ترسیم
الف: مستطیل زیبا :
ابتدا یک مربع با ضلع دلخواه می کشیم سپس وسط ضلع پایین این مربع را پیدا می کنیم و با یک پرگار به مرکز این نقطه یک قوس با شعاعی به اندازه وسط مربع تا گوشه سمت راست می کشیم تا طول مستطیل معلوم شود.لازم به ذکر است که نسبت طول این مستطیل به عر ض آن 1.6 می باشد.




ب: مارپیچ زیبا :دو مربع به طول ضلع واحد را در کنار هم قرار داده و در بالای آن ها مربع دیگری به ضلع 2 رسم می کنیم ( 1+1=2 ) حال مربع دیگری به ضلع 3 را در کنار دو مربع دیگر به طول اضلاع 1 و 2 رسم می کنیم و همین روند را ادامه می دهیم. طول ضلع هر مربع جدید از جمع اضلاع دو مربع قبل خود به دست می آید. اگر از رئوس مربع ها ربع دایره هایی به صورت شگل زیر رسم کنیم، در تهایت به مارپیچ زیباس فیبوناتچی می رسیم که در حلزون نیز وجود دارد.




کاربرد در کامپیوتر: در علوم کامپیوتر ساختار اطلاعاتی به نام " فیبوناتچی هیپ " که هسته اصلی بسیاری از الگوریتم های پر سرعت را تشکیل می دهد، وجود دارد که از اعداد طلایی در این برنامه ریزی استفاده گردیده و نمودارها و گرافیک های مربوط به کامپیوتر را سازماندهی می نماید.
کاربرد عدد طلایی در سرمایه گذاری و مسایل اقتصادی:در سال 1948 ، آر ان الیوت راه کار هایی در زمینه سرمایه گذاری که بر اساس دنباله فیبوناتچی طراحی شده بودند را پیشنهاد کرد که به عنوان ابزار استاندارد مورد استفاده بسیاری از کارگزاران قرار گرفت. از آن به بعد بسیاری از سرمایه گذاران ، برای تعیین چگونگی سرمایه گذاری خود از قواعد فیبوناتچی استفاده کرده اند.

کاربرد در علم فیزیک:
فیزیکدانان از دنباله فیبو ناتچی برای مطالعه انتقال کوانتمی و پرتو های کیهانی در منظومه شمسی بهره می گیرند.
با توجه به اینکه بار الکتریکی الکترون و پروتون و نیز جرم آن ها هر یک مضربی از 1.6 است، هر گونه انتقال الکترونی و تغییر بار در مواد به عدد طلایی مربوط می شود .
فصل5: برخی روابط ریاضی درعدد :
1- اگر عدد "فی" را به توان 2 برسانیم، به اندازه یک واحد از عدد "فی" بزرگتر می شود یعنی :
2- اگر 1 را بر عدد "فی" تقسیم کنیم به اندازه عدد 1 از عدد "فی" کمتر خواهد شد :
فصل6: نظر کپلر در مورد نسبت طلایی
کپلر منجم معروف در یکی از کتاب های خود نوشته است هندسه دارای دو گنج است که یکی از آن ها قضیه فیثاغورث و دومی رابطه تقسیم یک پاره خط با نسبت طلایی می باشد.اولین گنج را می توان به طلا و دومی را به جواهر تشبیه کرد. تحقیقاتی که کپلر راجع به مثلثی که اضلاع آن به نسبت مثلث مصری باشد به حدی بوده که امروزه این مثلث به مثلث کپلر نیز معروف می باشد. او به روابط بسیار زیبایی میان اجرام آسمانی ونسبت طلایی پی برد.
چهار نکته جالب:
1- اگر طول هر سه بند انگشت از انگشتان خود را اندازه بگیریم، و اندازه بند بالایی را به وسطی تقسیم کنیم ، حاصل عددی حدود 1.6 خواهد بود.همین نسبت در مورد بند وسط به بند کوچک نیز وجود دارد.





2- اگر طول صورت فردی را به عرض آن تقسیم کنیم، هر قدر این عدد به عدد طلایی نزدیکتر باشد آن فرد باهوش تر است !!
3- در کادر های کارت اعتباری، مستطیل های طلایی به کار رفته است.
4- امروزه در ترکیب بندی عکس ها از نسبت طلایی نیز استفاده می شود تا عکس ها زیباتر شوند.

چکیده
نسبت طلایی از دنباله فیبوناتچی بدست آمده است. فیبوناتچی یکی از ریاضیدانان قرو وسطی و اهل ایتالیا بود. او دنبا له خود را چنین نوشت:
(... ، 89 ،55 ،34 ،21 ، 13 ، 8 ، 5 ، 3 ، 2 ، 1 ، 1 )
همانطور که ملاحظه می کنید در این دنباله، هر جمله برابر است با مجموع دو جمله قبلی.
نسبت طلایی به عددی که از تقسیم یکی از جملات این دنباله به جمله قبلی آن بدست می آید، می گویند.به طوری که هر چه به سمت جملات بزرگتر در این دنباله می رویم این نسبت به عدد طلایی یا عدد "فی" که برابر است با 1.61803 نزدیکتر می شود.
این نسبت در طبیعت بسیار استفاده شده و یکی از رموز زیبایی در مخلوقات خداوند است. همچنین در حیطه های هنری، معماری و سایر علوم از آن استفاده های بسیاری شده است.




ادامه مطلب
+ نوشته شده در  پنجشنبه سی و یکم فروردین 1391ساعت 15:1  توسط کوثرپرداز  | 

جذب نور بیشتر از خورشید با نسبت طلایی

دوران نوجوانی خود را چگونه گذرانده اید و یا در حال گذران آن هستید؟ فکر می کنید چه کارهایی از دست تان بر می آید یا قادر به انجام آن هستید. خب، مثل اینکه نوجوان داستان ما راه خودش را از همین الان پیدا کرده. او روشی کشف کرده که ۲۰ تا ۵۰ درصد انرژی بیشتری از سلولهای خورشیدی کسب کنیم.


Aidan Dwayer، این نوجوان ۱۳ ساله نیویورکی هنگام گشت و گذار در جنگل متوجه شده بود که شاخ و برگ های درختان به صورت تصادفی در جهات مختلف رشد نمی کنند‫.‬ برای همین شروع به اندازه گیری زاویه شاخه ها کرد و به نتیجه بسیار جالبی رسید‫!‬ پشت همه این اعداد و زوایا می توانید نظمی شبیه دنباله فیبوناچی و نسبت طلایی را ببینید. حال وی به دنبال دلیلی بود که چرا همه درختان از چنین الگوی منظم و مشخصی پیروی می کنند. شاید با این کار سعی می کنند نور بیشتری جذب کنند.


او آزمونی ترتیب داد. با تعداد یکسانی سلول خورشیدی، دو مدل آزمایشی ایجاد کرد. یکی به همان شکل مرسوم که تمام سلولها در کنار یکدیگر قرار می گیرند. و دیگری شکلی همانند شاخه های درختان و طبق الگوی آنها داشت. نتیجه این بود که درخت خورشیدی وی ۲۰ درصد انرژی بیشتری جذب و ذخیره کرد. نتیجه در ماه دسامبر که خورشید در پایین ترین نقطه خود در آسمان قرار دارد، خیلی جالب تر بود. درخت خورشیدی ۵۰ درصد انرژی بیشتری نسبت به پنل خورشیدی معمولی جذب و ذخیره کرد!

http://i.huffpost.com/gen/334021/AIDAN-DWYER.jpg

آیدن با این کار علاوه بر یک کشف بزرگ در زمینه استفاده از انرژی خورشیدی، جایزه طبیعت گرای جوان موزه تاریخ طبیعی آمریکا را هم از آن خود کرده است. مطالعه گزارش کامل و جالب این نوجوان هم خالی از لطف نخواهد بود.

+ نوشته شده در  پنجشنبه سی و یکم فروردین 1391ساعت 14:59  توسط کوثرپرداز  | 

تاثیر نسبت طلایی آثار هنری بر روی مغز

 تاثیر نسبت طلایی آثار هنری بر روی مغز
گمان می رود لئوناردو داوینچی از نسبت طلایی - نسبتی هندسی که به عنوان کلیدی برای خلق آثار زیبایی شناسی در اثر هنری مورد استفاده قرار می گیرد - در خلق اثر مونالیزا استفاده کرده است. موندریان نقاش هلندی از این نسبت در ایجاد ساختارهای انتزاعی خود استفاده می کرد و سالوادور دالی نیز از آن در خلق شاهکار "سوگند آخرین شام" استفاده کرده است.

اکنون دانشمندان آمریکایی بر این باورند دلیل استفاده از این نسبت و دلیل خوشایند بودن آن را دریافته اند. بر اساس گزارش محققان دانشگاه دوک چشم انسان قادر است تصاویری را که از نسبت طلایی برخوردارند نسبت به دیگر تصاویر سریعتر ترجمه کرده و درک کند. به گفته محققان زمانی که چشم اطلاعات را از بخشهای کناری دریافت می کند نسبت به زمانی که از بخشهای بالایی یا پایینی دریافت می کند، کارایی بهتری دارد.

بسیاری از هنرمندان از عصر رنسانس آثار هنری خود را بر اساس نسبت طلایی به ویژه مربع طلایی تقسیم بندی کرده اند. این نسبت در آثار "مونالیزا" و "پارتنون در آتن" داوینچی، آثار لوکوربوزیه و "سوگند شام آخر" سالوادور دالی به خوبی دیده می شود.

به گفته محققان این نسبت باعث می شوند بهترین نسبتهای تصویری به مغز انسان انتقال داده شوند. به بیانی دیگر شکلهایی که از نسبت طلایی برخوردارند به راحتی توسط چشم دیده و اسکن می شوند و پس از آن به سادگی به مغز انتقال داده می شوند. این سادگی در مشاهده و درک تصاویر در نظر انسان به زیبایی تعبیر می شود.

بر اساس گزارش گاردین، آدرین بژان از دانشمندان برتر علوم مهندسی دانشگاه دوک که قانون فیزیکی را مبنی بر طراحی مواد در حین حرکت در میان آب و هوا ارائه کرده و رهبری این پروژه را به عهده داشته معتقد است این قانون ساختاری از سیستمی تبعیت می کند که طی زمان شکل می گیرد و چگونگی بینش و درک زیبایی را تعیین می کند.

● نرم افزاري براي جذابيت

در دوران بلوغ، منطقه اي از صورت که بين دهان و بيني قرار دارد، در خانم ها و آقايان متفاوت از يکديگر رشد مي کند. اين بخش «ارتفاع بخش فوقاني» صورت ناميده مي شود. با اسکن صورت خانم ها و آقايان مشخص شده است که بخش فوقاني صورت هر دو جنس ارتفاع يکساني دارد ولي پهناي آن متفاوت است. جالب است بدانيد که محققان به تازگي برنامه نرم افزاري را طراحي کرده اند که براساس اندازه گيري نسبت هاي اجزاي صورت مي تواند به شما بگويد جذاب هستيد يا خير؟

● نسبت طلايي بين اجزاي صورت

جالب است بدانيد در صورت هاي زيبا، يک نسبت طلايي بين اجزاي مختلف آن چهره وجود دارد که بسياري از دانشمندان اين نسبت را در بسياري از اجزاي زيباي طبيعت مانند گلبرگ هاي گل ها، بدن پرندگان، اجزاي بدن حشرات و حتي استخوان بندي انگشتان دست کشف کرده اند. بر اين اساس در چهره هاي زيبا وايده آل اين نسبت طلايي در بين خطوط طولي، عرضي و عمودي صورت وجود دارد. در نسبت هاي عمودي، فاصله خط رويش موها تا قاعده بيني به قاعده بيني تا زير چانه است و همچنين فاصله خطي که دو مردمک را به هم وصل مي کند تا خط بين دو لب به خط بين دو لب تا زير چانه است. در اجزاي افقي صورت هاي متناسب هم اين نسبت مي درخشد.



ادامه مطلب
+ نوشته شده در  پنجشنبه سی و یکم فروردین 1391ساعت 14:58  توسط کوثرپرداز  | 

نسبت طلایی عدد فیبوناچی



بهاربیست                   www.bahar22.com

در قرن 12، لئوناردو فیبوناچی (Leonardo Fibonacci) دنباله ی مشهور خود را معرفی نمود. جمله ی بعدی برابر مجموع دو جمله ی قبلی خود می باشد. 

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, . . .

 

 

عدد فی از دنباله ی فیبوناچی مشتق شده است، تصاعد مشهوری که شهرتش تنها به این دلیل نیست که هرجمله با مجموع دو جمله ی پیشین خود برابری می کند. بلکه به این دلیل است که خارج قسمت هر دو جمله ی کنار هم خاصیت حیرت انگیز، نزدیکی به عدد 1.618 را دارد. 


در زیر مقداری از این عدد نا متناهی را می بینید:

1.61803398874989484 8204586834365638 1177203091798057 6286213544862270 526046281890
2449707207204189391 1374847540880753 8689175212663386 2223536931793180 06076672635
4433389086595939582 9056383226613199 2829026788067520 8766892501711696 20703222104
3216269548626296313 6144381497587012 2034080588795445 4749246185695364 86444924104
4320771344947049565 8467885098743394 4221254487706647 8091588460749988 71240076521
7057517978834166256 2494075890697040 0028121042762177 1117778053153171 41011704666
5991466979873176135 6006708748071013 1795236894275219 4843530567830022 87856997829
7783478458782289110 9762500302696156 1700250464338243 7764861028383126 83303724292
6752631165339247316 7111211588186385 1331620384005222 1657912866752946 54906811317
1599343235973494985 0904094762132229 8101726107059611 6456299098162905 55208524790
3524060201727997471 7534277759277862 5619432082750513 1218156285512224 80939471234
1451702237358057727 8616008688382952 3045926478780178 89921 9902707769038953219 68 1
9861514378031499741 1069260886742962 2675756052317277 7520353613936210 76738937645
5606060592165894667 5955190040055590 8950229530942312 4823552122124154 44006470340
5657347976639723949 4994658457887303 9623090375033993 8562102423690251 38680414577
9956981224457471780 3417312645322041 6397232134044449 4873023154176768 93752103068
7378803441700939544 0962795589867872 3209512426893557 3097045095956844 01755519881
9218020640529055189 3494759260073485 2282101088194644 5442223188913192 94689622002
3014437702699230078 0308526118075451 9288770502109684 2493627135925187 60777884665
8361502389134933331 2231053392321362 4319263728910670 5033992822652635 56209029798
6424727597725655086 1548754357482647 1814145127000602 3890162077732244 99435308899
9095016803281121943 2048196438767586 3314798571911397 8153978074761507 72211750826
9458639320456520989 6985556781410696 8372884058746103 3781054443909436 83583581381

....

حیوانات، گیاهان و حتی انسان ها همگی با دقتی بسیار بالا وجوهی از ضرایب فی به یک می باشند. دانشمندان قدیم  1.618 را نسبت الهی عنوان کرده اند. برای آشنایی بیشتر با این نسبت به چند نمونه ی زیر توجه کنید:

در یک کندوی عسل همیشه تعداد زنبورهای ماده از نرها بیشتر است. حال اگر تعداد زنبورهای ماده را به نر تقسیم کنیم در هر کندویی در هر گوشه ی دنیا یک عدد ثابت بدست می آید. که همان فی است.

نسبت قطر مارپیچ های حلزون نیز نسبت 1.618 به یک را دارد

 

تخمه های آفتابگردان به شکل مارپیچ هایی روبروی هم رشد می کنند. نسبت قطر هر دایره به دایره بعدی 1.618 می باشد. 

 

به نسبت های طولی و عرضی خطوط رنگی دقت کنید... نسبت خطوط به هم 1.618 می باشد

 

 

 

 

نسبت طولی و عرضی خال های پروانه ها، نسبت فی است

   

داوینچی اولین کسی بود که نسبت دقیق استخوان های انسان را اندازه گیری نمود و ثابت کرد که این تناسبات با ضریب عدد فی هستند.

فاصله سر تا زمین را تقسیم بر فاصله ی شکم تا زمین نمایید. عدد حاصله 1.618 می باشد.

فاصله شانه ها تا نوک انگشت تقسیم بر فاصله آرنج تا نوک انگشت هم بیانگر عدد فی می باشد.

نمونه های دیگر:

باسن تا زمین تقسیم بر زانو تا زمین

مفاصل انگشتان... تقسیمات ستون فقرات و ...  

    

 

 

همان طور که می دانید DNA زنجیره ی حیاتی هر موجودی است که در آن کلیه اطلاعات آن موجود بصورت کد و زنجیروار قرار دارد. 34آنگستروم طول و 21 آنگستروم پهنا دارد.

و 34 و 21 جزو اعداد سری فیبوناچی هستند و تقسیم آنها بر یکدیگر عدد 1.61904 را نشان می دهد که کاملا نزدیک 1.6180339 می باشد.

ذره ای کوچک از نظم بزرگ هستی ما!!!

+ نوشته شده در  پنجشنبه سی و یکم فروردین 1391ساعت 14:55  توسط کوثرپرداز  |